Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que a equação abaixo possui solução geral em série de potências:
.
Passo 1
O enunciado pede o raio do maior círculo centrado em zero onde a equação
admite solução geral em série de potências em torno de
.
Em teoria de equações diferenciais ordinárias, uma solução em série de potências centrada em converge até o ponto singular mais próximo de
. Então precisamos achar os pontos onde o coeficiente de
se anula, pois são as singularidades.
Em teoria de equações diferenciais ordinárias, uma solução em série de potências centrada em
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
As singularidades são as raízes de
.
Passo 3
Resolvendo
temos
e
Passo 4
Calculamos as distâncias dessas raízes ao centro
:
O raio de convergência da série em
é a menor dessas distâncias, isto é,
.
Resposta
O raio do maior círculo é
.