Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que a equação abaixo possui solução geral em série de potências:
(x+2)(x^2-2 x+2) y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede o raio do maior círculo centrado em zero onde a equação
(x+2)l(x^2-2x+2r)y'' - 4x,y' + 6y = 0
admite solução geral em série de potências em torno de x=0.
Em teoria de equações diferenciais ordinárias, uma solução em série de potências centrada em x=0 converge até o ponto singular mais próximo de 0. Então precisamos achar os pontos onde o coeficiente de y'' se anula, pois são as singularidades.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
dividindo tudo por
a2(x) = (x+2)l(x^2 - 2x + 2r)
As singularidades são as raízes de a2(x)=0.

Passo 3

Resolvendo
(x+2)l(x^2 - 2x + 2r) = 0
temos
x+2=0implies x=-2,
e
x^2-2x+2=0implies x = 2pmraiz4-82 = 1pm i

Passo 4

Calculamos as distâncias dessas raízes ao centro 0:
|-2| = 2,
|1pm i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
O raio de convergência da série em x=0 é a menor dessas distâncias, isto é, raiz2.

Resposta

O raio do maior círculo é raiz2.

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