Determine d^2 yd x^2 nos seguintes casos: lx(t)=e^-t y(t)=e^3 t Resposta: 12 e^5 t

Passo 1

O enunciado pede para determinar d^2ydx^2 quando a curva é dada por
x(t)=e^-t e y(t)=e^3t.
Aqui vamos usar que
dydx=dydtdxdt
e que
d^2ydx^2 = ddtl(dydxr) dxdt

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt = ddt(e^-t) = -e^-t,
dydt = ddt(e^3t) = 3e^3t.

Passo 3

Usando dydx=(dy/dt)/(dx/dt), obtemos
dydx = 3e^3t-e^-t = -3e^3t+t = -3e^4t

Passo 4

Derivamos dydx=-3e^4t em relação a t:
ddtl(-3e^4tr) = -3cdot4,e^4t = -12e^4t

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula da segunda derivada:
d^2ydx^2 = -12e^4t-e^-t = 12,e^4t+t = 12e^5t

Resposta

,12e^5t

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