Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a) f(x, y)=x^2+e^x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^2+e^x^2y^2
O conteúdo aqui é o uso da regra da cadeia para funções compostas, lembrando que
ddue^u=e^u
e que, ao derivar e^x^2y^2, devemos multiplicar pela derivada do expoente x^2y^2.

Passo 2

Calculando partial fpartial x:
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x.
  • Para e^x^2y^2, aplicamos a regra da cadeia:
    o derivado de e^u é e^u vezes u', com u=x^2y^2.
    Logo, partialpartial xe^x^2y^2 =e^x^2y^2cdotpartialpartial x(x^2y^2) =e^x^2y^2cdot(2x,y^2)
Portanto,
partial fpartial x =2x + e^x^2y^2cdot 2x,y^2 =2x + 2x,y^2e^x^2y^2

Passo 3

Calculando partial fpartial y:
  • A derivada de x^2 em relação a y é zero, pois não depende de y.
  • Em e^x^2y^2, de novo regra da cadeia com u=x^2y^2: partialpartial ye^x^2y^2 =e^x^2y^2cdotpartialpartial y(x^2y^2) =e^x^2y^2cdot(2y,x^2)
Logo,
partial fpartial y =0 + 2x^2y,e^x^2y^2 =2x^2y,e^x^2y^2

Resposta

partial fpartial x=2x + 2x,y^2e^x^2y^2, partial fpartial y=2x^2y,e^x^2y^2.

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