Salcule a soma sumn=1^+infty 1(n+4)(n+5).

Passo 1

O enunciado pede calcular a série infinita
sumn=1^+infty 1(n+4)(n+5)
Esse tipo de soma costuma ser telescópico. Para resolvê-lo vamos usar decomposição em frações parciais e depois observar o cancelamento dos termos.

Passo 2

Decompondo o termo genérico em frações parciais, procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por temos
Para que isso valha para todo é necessário
cuja solução é . Logo

Passo 3

Definindo a soma parcial
SN=sumn=1^N1(n+4)(n+5) =sumn=1^Nl(1n+4-1n+5r),
vemos que muitos termos se cancelam entre si:
SN =l(15-16r) +l(16-17r) +cdots +l(1N+4-1N+5r) =15-1N+5

Passo 4

Para obter a soma infinita, basta tomar o limite de SN quando Nto+infty. Como
limNtoinfty1N+5=0,
ficamos com
sumn=1^infty1(n+4)(n+5) =limNtoinftySN =15

Resposta

15

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