Mostre que a série sumk=1^+infty k^kk! è divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumk=1^+infty k^kk!
é divergente. Vamos usar o Teste da Razão, que diz que se
L = limktoinfty |ak+1ak|
existe e L>1, então a série sum ak diverge.

Passo 2

Definimos
ak = k^kk!
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)^,k+1(k+1)!k^kk! = (k+1)^,k+1(k+1),k^k = (k+1)^kk^k = l(1+1kr)^k

Passo 3

Usamos o limite fundamental
limktoinftyl(1+1kr)^k = e
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L = limktoinftyak+1ak = e

Passo 4

Como L=e>1, o Teste da Razão garante que a série
sumk=1^+inftyak diverge.

Resposta

A série diverge.

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