Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y)=x^2 y^3+x^4 y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^2y^3+x^4y
Para isso vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y, e em seguida derivar cada uma delas novamente em x e em y.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x =partialpartial xl(x^2y^3+x^4yr) =2x,y^3+4x^3y,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2y^3+x^4yr) =3x^2y^2+x^4

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x para obter partial^2fpartial x^2 e partial^2fpartial y,partial x:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(2x,y^3+4x^3yr) =2y^3+12x^2y,
partial^2fpartial y,partial x =partialpartial yl(2x,y^3+4x^3yr) =6x,y^2+4x^3

Passo 4

Finalmente derivamos partial fpartial y para obter partial^2fpartial x,partial y e partial^2fpartial y^2:
partial^2fpartial x,partial y =partialpartial xl(3x^2y^2+x^4r) =6x,y^2+4x^3,
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(3x^2y^2+x^4r) =6x^2y

Resposta

partial^2fpartial x^2=2y^3+12x^2y, partial^2fpartial x,partial y=6x,y^2+4x^3,
partial^2fpartial y,partial x=6x,y^2+4x^3, partial^2fpartial y^2=6x^2y

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