Seja
. Verificar se os pontos
são pontos de acumulação de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é ponto de acumulação de
. Vamos usar geometria de bolas em
e a definição de ponto de acumulação.
Passo 2
Note que
logo
é exatamente a bola aberta de raio
centrada em
, excluindo o próprio centro.
Passo 3
Por definição,
seria ponto de acumulação de
se, para todo
, a bola aberta
contivesse algum ponto de
distinto de
.
Passo 4
Calculemos a distância de
ao centro
:
Como
, o ponto
fica fora da bola de raio
.
Passo 5
Escolha, por exemplo,
Então, para qualquer
em
, vale
Isso mostra que nenhuma dessas
satisfaz
, ou seja,
Logo há uma vizinhança de
sem pontos de
.