Seja A=(x, y) in R^2 mid 0<raizx^2+y^2+2 y+1<1. Verificar se os pontos
(1,1) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

O enunciado define
A = (x,y)inR^2 mid 0 < raizx^2 + y^2 + 2y + 1 < 1
e pede para verificar se (1,1) é ponto de acumulação de A. Vamos usar geometria de bolas em R^2 e a definição de ponto de acumulação.

Passo 2

Note que
x^2 + y^2 + 2y + 1 ;=; x^2 + (y+1)^2,
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A = (x,y)mid 0 < raizx^2 + (y+1)^2 < 1
é exatamente a bola aberta de raio 1 centrada em (0,-1), excluindo o próprio centro.

Passo 3

Por definição, (1,1) seria ponto de acumulação de A se, para todo r>0, a bola aberta
Brl((1,1)r)
contivesse algum ponto de A distinto de (1,1).

Passo 4

Calculemos a distância de (1,1) ao centro (0,-1):
d ;=;raiz(1-0)^2 + (1-(-1))^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Como raiz5>1, o ponto (1,1) fica fora da bola de raio 1.

Passo 5

Escolha, por exemplo,
r = tfracraiz5-12 ;>;0
Então, para qualquer (x,y) em Brl((1,1)r), vale
distl((x,y),(0,-1)r) ;>=; distl((1,1),(0,-1)r) ;-; distl((x,y),(1,1)r) ;>; raiz5 - r ;=; tfracraiz5+12 ;>; 1
Isso mostra que nenhuma dessas (x,y) satisfaz raizx^2+(y+1)^2<1, ou seja,
Brl((1,1)r)cap A = varnothing
Logo há uma vizinhança de (1,1) sem pontos de A.

Resposta

(1,1) não é ponto de acumulação de A.

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