Seja A=(x, y) in R^2 mid 0<raizx^2+y^2+2 y+1<1. Verificar se os pontos
(0,0) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

Resumindo, temos
A = (x,y)inR^2 mid 0<raizx^2+y^2+2y+1<1,
ou seja, queremos verificar se (0,0) é ponto de acumulação de A. Para isso, lembramos que (0,0) é ponto de acumulação se, para todo varepsilon>0, a bola Bvarepsilon((0,0)) contém algum ponto de A distinto de (0,0).

Passo 2

Reescrevendo o termo dentro da raiz, fazemos o “quadrado completo” em y:
x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + (y+1)^2
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A = l(x,y)mid 0<raizx^2+(y+1)^2<1r

Passo 3

Isso mostra que A é exatamente o disco aberto de raio 1 centrado em (0,-1), excluindo o próprio centro:
A = l(x,y)mid 0<|(x,y)-(0,-1)|<1r

Passo 4

Calculamos a distância de (0,0) ao centro (0,-1):
|(0,0)-(0,-1)| = raiz0^2 + (0+1)^2 = 1
Portanto (0,0) está na fronteira desse disco aberto.

Passo 5

Como (0,0) fica a distância 1 do centro, qualquer bola Bvarepsilon((0,0)) com varepsilon>0 vai invadir um pouco o interior do disco de raio 1. Ou seja, para todo varepsilon>0 existe algum (x,y)in A tal que (x,y)neq(0,0) e |(x,y)-(0,0)|<varepsilon.

Resposta

Sim. (0,0) é ponto de acumulação de A.

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