Considere um sistema submetido a entrada rampa.
Sabendo que:
c(t)=K t-\tau+\tau e^{-t / \tau}
Explique:
a) O significado físico de cada termo da equação;
b) A diferença entre resposta ao degrau e resposta à rampa;
c) O erro em regime permanente;
d) Como a constante de tempo influencia o erro estacionário.
Passo 1
O enunciado dá a resposta do sistema a uma rampa como
c(t)=K t-\tau+\tau e^{-t/\tau},
e pede quatro coisas:
a) o significado físico de cada termo da expressão;
b) a diferença entre resposta ao degrau e resposta à rampa;
c) o erro em regime permanente;
d) como a constante de tempo \tau influencia o erro estacionário.
Observação importante (para ficar tudo claro): vou interpretar r(t) como uma rampa de declive K, isto é r(t)=K t, e c(t) como a saída do sistema correspondente. Essa é a leitura natural quando se dá uma expressão do tipo dada.
Passo 2
Quebrando a expressão em termos (vou nomear e explicar cada um):
(I) \;K t: é o termo linear (rampa) que cresce indefinidamente com a mesma taxa do sinal de entrada r(t)=K t. Fisicamente, representa a tendência de crescimento da saída que acompanha a rampa de entrada — é a parte “seguindo” o comando rampa.
(II) \;-\tau: é um deslocamento constante (negativo) da reta assimptótica. Em termos de rastreio, esse termo gera um desfasamento fixo entre a saída e a entrada em regime permanente: a saída fica permanentemente abaixo da rampa de entrada por uma quantidade igual a \tau. Logo, esse termo está diretamente ligado ao erro estacionário (é o responsável pelo erro constante entre entrada e saída quando t\to\infty).
(III) \;\tau e^{-t/\tau}: é o termo transitório exponencial. Tem as propriedades típicas dos transitórios de sistemas de primeira ordem: no instante inicial vale \tau e decai exponencialmente para zero com constante de tempo \tau. Fisicamente, representa a resposta inicial que corrige as condições iniciais e morre com o tempo — depois de alguns \tau a contribuição desse termo é praticamente nula e resta a solução assintótica.
Dica rápida de verificação: em t=0 temos c(0)=K\cdot0-\tau+\tau e^{0}=0 (boa coerência: sistema começa em zero se a entrada e a saída iniciam em zero). Para t\to\infty o termo exponencial some e sobra a assíntota
c_{\text{ass}}(t)=K t-\tau,
ou seja, uma rampa paralela à entrada, deslocada para baixo de \tau.
Passo 3
Calcular explicitamente o erro em função do tempo e sua forma em regime permanente (isso responde parcialmente c), mas é útil para entender a física).
Defina o erro instantâneo
e(t)=r(t)-c(t).
Como estamos assumindo r(t)=K t, substituindo:
e(t)=K t - \bigl(K t-\tau+\tau e^{-t/\tau}\bigr) =\tau - \tau e^{-t/\tau}.
Observe o comportamento:
em t=0: e(0)=\tau-\tau\cdot1=0 (erro inicial nulo);
para t\to\infty: e(t)\to \tau pois e^{-t/\tau}\to0.
Portanto o erro em regime permanente é
e_{\infty}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\tau.
Interpretação: o sistema permanece com um lag constante igual a \tau em relação à rampa de entrada.
Passo 4
Diferença entre resposta ao degrau e resposta à rampa (visão didática e prática para prova).
Resposta ao degrau: se a entrada for um degrau de amplitude A (ou seja r(t)=A para t\ge0), um sistema de primeira ordem com ganho unitário típico tem resposta do tipo
c_{\text{degrau}}(t)=A\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Isso é uma exponencial que parte de zero e tende para a constante A. Em regime permanente a saída é um valor finito e pode ser igual à entrada se o ganho DC for 1 (erro estacionário para degrau pode ser zero se o ganho DC for 1).
Resposta à rampa: para uma entrada rampa r(t)=K t a saída típico de um sistema de primeira ordem (ou do caso dado) é uma rampa com a mesma inclinação mais um deslocamento e um transitório exponencial:
c_{\text{rampa}}(t)=K t-\tau+\tau e^{-t/\tau}.
Ou seja, a saída cresce sem limite (assim como a entrada), mas existe geralmente um deslocamento permanente entre entrada e saída (o erro estacionário não é zero). Enquanto no degrau pode ser possível alcançar a entrada (zero erro) para certo ganho, na rampa um sistema puramente de primeira ordem (sem integrador) tipicamente apresenta erro permanente diferente de zero.
Resumo prático para prova: degrau → saída tende a um valor constante; rampa → saída tende a uma rampa (cresce indefinidamente) frequentemente com um desvio constante em relação à entrada.
Passo 5
Como a constante de tempo \tau influencia o erro estacionário (resposta d).
Do cálculo do passo 3: e_{\infty}=\tau. Conclusões diretas:
O erro estacionário para uma rampa é diretamente proporcional a \tau. Quanto maior \tau, maior o erro permanente (maior o “atraso” em relação à rampa de referência).
Se \tau for pequeno (sistema rápido), o termo exponencial decai mais rapidamente e o deslocamento \tau é pequeno: o sistema acompanha melhor a rampa.
Se \tau\to0 então e_{\infty}\to0: sistema idealmente muito rápido acompanha sem erro (no limite instantâneo acompanha perfeitamente).
Se \tau for grande, o sistema é lento, o termo exponencial demora muito a sumir e o deslocamento final \tau é grande: péssimo acompanhamento.
Além disso, a velocidade de decaimento do transitório é governada por \tau: o tempo prático de assentamento é da ordem de alguns \tau (por exemplo, em ~3\tau a exponencial já está reduzida a \sim5\%). Assim, \tau controla tanto o nível do erro permanente como o tempo que leva para a resposta atingir a forma assintótica.
Passo 6
Observações úteis para prova (como reconhecer e usar rapidamente essa forma):
Reconhecer a forma: qualquer expressão da forma \text{rampa} + \text{constante} + \text{expoente decrescente} indica “rampa assintótica deslocada + transitório”. Saber identificar cada termo salva tempo.
Para obter o erro estacionário faça e(t)=r(t)-c(t) e tome t\to\infty (ou use teorema do valor final no domínio de Laplace quando conveniente).
Se for pedido reduzir o erro para rampa, a solução clássica é adicionar um integrador na malha de controle (aumentar o tipo do sistema) — isso é comentário de projeto de controle, útil para contextualizar respostas em provas.
Força aí — é só identificar cada termo e usar e(t)=r(t)-c(t) para achar o erro final. Dá pra fazer rapidinho na prova.
Resposta
a) \;K t é a parte linear que acompanha a rampa de entrada (inclinação K). \;-\tau é o deslocamento constante que produz o erro estacionário (a saída fica \tau abaixo da entrada). \;\tau e^{-t/\tau} é o termo transitório exponencial que decai com constante de tempo \tau.
b) Resposta ao degrau: saída tende a um valor constante (exponencial de primeira ordem); resposta à rampa: saída tende a uma rampa (cresce indefinidamente) geralmente com um deslocamento permanente em relação à entrada e com um termo transitório exponencial.
c) Erro em regime permanente: \displaystyle e_{\infty}=\tau.
d) A constante de tempo \tau controla diretamente o erro estacionário: e_{\infty} é proporcional a \tau. Menor \tau → menor erro e resposta mais rápida; maior \tau → maior erro e resposta mais lenta.