Justifique a seguinte afirmação:Se
e
são funções polinomiais com
para todo
e
, então,
para todo $(x, y) \in \mathbb{R}^{2} . $
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para f(x,y)=p(x,y)/q(x,y) com p e q polinomiais e q(x,y)≠0 em ℝ², vale f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y). O conteúdo envolvido é o Teorema de Schwarz (ou Clairaut) sobre igualdade de derivadas parciais mistas, e vamos precisar garantir que f tem segundas derivadas contínuas.
Passo 2
Como p e q são polinomiais, elas são funções de classe C^∞. Como q(x,y)≠0 em ℝ², a função 1/q também é C^∞. Logo f(x,y)=p(x,y)·(1/q(x,y)) é C^∞ em ℝ², o que implica que todas as suas derivadas parciais de ordem até 2 existem e são contínuas.
Passo 3
Pelo Teorema de Schwarz, se uma função é C^2 num aberto contendo (x,y), então as derivadas parciais mistas coincidem: f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y). Como vimos que f é C^∞ em todo ℝ², podemos aplicar esse teorema em qualquer ponto, obtendo a igualdade desejada.
Resposta
Como f é C^2 em ℝ², o Teorema de Schwarz garante que f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) para todo (x,y) em ℝ².