Usando a regra da cadeia, determine
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{dt}}
sabendo que
z=x^{2}+y^{2}
com
x=t^{2}+1, \quad y=2 t-1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá z em termos de x e y:
z = x^{2} + y^{2}.
  • As variáveis x e y são funções de t:
x = t^{2} + 1,\qquad y = 2t - 1.
  • O que é pedido: calcular \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, ou seja, a derivada de z em relação a t.

Passo 2

Vou explicar a regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis) de forma direta e intuitiva.
Se z depende de x e y e ambos dependem de t, então pequenas variações em t causam variações em x e y que, por sua vez, mudam z. A fórmula que contabiliza essas contribuições é
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x: trata-se de derivar z supondo y fixo.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y: deriva-se z supondo x fixo.
  • \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} são as derivadas usuais das funções x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z=x^{2}+y^{2}.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: ao derivar em relação a x tratamos y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x e a de y^{2} é 0. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x}=2x.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: de maneira análoga,
\frac{\partial z}{\partial y}=2y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} a partir das funções dadas.
  • Para x(t)=t^{2}+1: usamos a regra da potência ( \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^{n}=n t^{\,n-1}) e a regra da constante. Assim
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t.
  • Para y(t)=2t-1: é uma função afim; a derivada é o coeficiente de t:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas que encontramos.
Usando
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},
substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial z}{\partial y}=2y, \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t e \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2, obtemos
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=(2x)(2t)+(2y)(2)=4tx+4y.

Passo 6

Expressar \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} somente em termos de t substituindo x e y.
Substituindo x=t^{2}+1 e y=2t-1 na expressão 4tx+4y:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=4t(t^{2}+1)+4(2t-1).
Agora desenvolver os produtos:
4t(t^{2}+1)=4t^{3}+4t, \qquad 4(2t-1)=8t-4.
Somando:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=4t^{3}+4t+8t-4=4t^{3}+12t-4.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para dar segurança): calcular z(t) explicitamente e derivar para conferir.
  • Primeiro escrever z(t):
z(t)=(t^{2}+1)^{2}+(2t-1)^{2}=t^{4}+2t^{2}+1+4t^{2}-4t+1=t^{4}+6t^{2}-4t+2.
  • Derivando diretamente:
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=4t^{3}+12t-4,
que coincide com o resultado obtido anteriormente.

Resposta

\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=4t^{3}+12t-4

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