Usando a regra da cadeia, determine
sabendo que
com
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá
em termos de e :
- As variáveis
e são funções de :
- O que é pedido: calcular
, ou seja, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vou explicar a regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis) de forma direta e intuitiva.
Se
depende de
e
e ambos dependem de
, então pequenas variações em
causam variações em
e
que, por sua vez, mudam
. A fórmula que contabiliza essas contribuições é
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : trata-se de derivar supondo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : deriva-se supondo fixo. -
e são as derivadas usuais das funções e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: ao derivar em relação a tratamos como constante. A derivada de em relação a é e a de é . Logo,
- Para
: de maneira análoga,
Passo 4
Calcular
e
a partir das funções dadas.
- Para
: usamos a regra da potência ( ) e a regra da constante. Assim
- Para
: é uma função afim; a derivada é o coeficiente de :
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas que encontramos.
Usando
substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 6
Expressar
somente em termos de
substituindo
e
.
Substituindo
e
na expressão
:
Agora desenvolver os produtos:
Somando:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para dar segurança): calcular
explicitamente e derivar para conferir.
- Primeiro escrever
:
- Derivando diretamente:
que coincide com o resultado obtido anteriormente.