Determine as derivadas parciais de segunda ordem ( fx x, fx y e fy y ).
f(x, y)=x yx-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x,yx-y
O conteúdo aqui é derivada parcial e, para calcular as segundas, vamos primeiro obter as primeiras derivadas fx e fy usando a regra do quociente, e depois diferenciar de novo.

Passo 2

Calcular fx por regra do quociente: definimos
u(x,y)=x,y, v(x,y)=x-y,
logo
ux=y, vx=1
Então
fx =ux,v - u,vxv^2 =y,(x-y) - x,y(x-y)^2 =y,x - y^2 - x,y(x-y)^2 =-y^2(x-y)^2

Passo 3

Calcular fy de modo análogo:
uy=x, vy=-1,
então
fy =uy,v - u,vyv^2 =x,(x-y) - x,y,(-1)(x-y)^2 =x^2 - x,y + x,y(x-y)^2 =x^2(x-y)^2

Passo 4

Agora obtemos fxx=partial fx/partial x. Como
fx=-y^2,(x-y)^-2,
aplicamos a regra da cadeia:
fxx =-y^2cdotddxl((x-y)^-2r) =-y^2cdotl(-2r)(x-y)^-3cdot1 =2,y^2(x-y)^3

Passo 5

Para fxy=partial fx/partial y, diferenciamos
fx=-y^2,(x-y)^-2
em relação a y. Temos
partialpartial yl(-y^2,(x-y)^-2r) =-l(2y,(x-y)^-2 + y^2cdot(-2)(x-y)^-3cdot(-1)r)
Isso dá
fxy =-2y(x-y)^2 - 2y^2(x-y)^3 =-2y(x-y)+2y^2(x-y)^3 =-2x,y(x-y)^3

Passo 6

Por fim, fyy=partial fy/partial y. Como
fy=x^2,(x-y)^-2,
temos
fyy =x^2cdotddyl((x-y)^-2r) =x^2cdot(-2)(x-y)^-3cdot(-1) =2,x^2(x-y)^3

Resposta

fxx=2,y^2(x-y)^3
fxy= -2,x,y(x-y)^3
fyy=2,x^2(x-y)^3

Exercícios relacionados