Seja alpha: R R uma função diferenciável tal que alpha^prime(3)=4. Seja f(x, y, z)=alpha(x^2+y^2+z^2). Calcule:
partial fpartial z(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá f(x,y,z)=alpha(x^2+y^2+z^2) com alpha'(3)=4 e pede partial fpartial z(1,1,1). Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
partial fpartial z(x,y,z) = alpha

Passo 3

Como g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, temos
partial gpartial z(x,y,z)=2z
Em (1,1,1) obtemos g(1,1,1)=1+1+1=3, alpha'(3)=4 e partial gpartial z(1,1,1)=2.
Logo,
partial fpartial z(1,1,1) =4cdot 2 =8

Resposta

partial fpartial z(1,1,1)=8

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