Determine as derivadas parciais de segunda ordem (fx x, fx y e fy y).
f(x, y)=e^x e^y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fxy e fyy da função
f(x,y)=e^x e^y
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia em funções exponenciais.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x e^y,
de modo que f(x,y)=e^u(x,y). Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de primeira ordem são
fx = e^u ,partial upartial x = e^x e^ycdot e^y,
fy = e^u ,partial upartial y = e^x e^ycdot x e^y

Passo 3

Para fxx, derivamos fx = e^x e^ye^y em relação a x. Como e^y é constante em x,
fxx = e^y ,partialpartial xl(e^x e^yr) = e^y l(e^x e^ycdot e^yr) = e^x e^y,e^2y

Passo 4

Para fxy, derivamos fx = e^x e^ye^y em relação a y. Usamos produto:
fxy = partialpartial yl(e^x e^yr),e^y + e^x e^y,ddy(e^y) = l(e^x e^y,x e^yr)e^y + e^x e^y,e^y = e^x e^ye^yl(x e^y+1r)

Passo 5

Para fyy, derivamos fy = e^x e^yx e^y em relação a y. Também aplicamos produto:
fyy = partialpartial yl(e^x e^yr),x e^y + e^x e^y,ddyl(x e^yr) = l(e^x e^y,x e^yr)x e^y + e^x e^y,x e^y = e^x e^yx e^yl(x e^y+1r)

Resposta

fxx(x,y)=e^x e^ye^2y,
fxy(x,y)=e^x e^ye^yl(x e^y+1r),
fyy(x,y)=e^x e^yx e^yl(x e^y+1r)

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