Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=ln (x^2+y^2-1) c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede para “esboçar” os conjuntos de nível de
f(x,y)=lnl(x^2+y^2-1r)
para os valores c=-1,0,1.
Um conjunto de nível para c é
(x,y)mid f(x,y)=c
Repare que o domínio de f exige x^2+y^2-1>0, isto é, x^2+y^2>1.

Passo 2

Igualamos
f(x,y)=c
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lnl(x^2+y^2-1r)=c

Passo 3

Exponenciando ambos os lados:
x^2+y^2-1 = e^c Longrightarrow x^2+y^2 = e^c + 1
Isso é a equação de um círculo de centro na origem e raio
r = raiz,e^c+1,

Passo 4

Agora, para cada c:
se c=-1: r = raiz,e^-1+1,,
se c=0: r = raiz,e^0+1, = raiz2,
se c=1: r = raiz,e^1+1, = raiz,e+1,
Note que em todos os casos r>1, compatível com o domínio.

Passo 5

Para esboçar, desenhe no plano xy:
  • O círculo unitário de raio 1 (fronteira do domínio, como traço leve).
  • Três circunferências concêntricas de raios
    raiz,e^-1+1,, raiz2 e raiz,e+1,,
    todas centradas na origem e maiores que 1.

Resposta

Os conjuntos de nível são as circunferências de equações
x^2+y^2 = e^-1+1, x^2+y^2 = 2, x^2+y^2 = e+1,
respectivamente para c=-1,0,1.

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