Mostre que o limite lim (x, y) (0,0) x y+y^3x^2+y^2 não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x y+y^3x^2+y^2. O que a gente precisa fazer aqui é ver se, quando (x, y) se aproxima de (0,0), esse quociente tem um valor específico. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. O numerador é xy + y^3 e o denominador é x^2 + y^2. A ideia é verificar o comportamento dessa fração quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o valor do limite muda. Se encontrarmos dois caminhos que dão valores diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos deixar x = 0. Substituindo na expressão, temos:
0 cdot y + y^30^2 + y^2 = y^3y^2 = y
Quando y 0, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Vamos deixar y = x. Substituindo na expressão, temos:
x cdot x + x^3x^2 + x^2 = x^2 + x^32x^2 = x^2(1 + x)2x^2 = 1 + x2
Quando x 0, o limite é 12.

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( 0 e 12) ao seguir caminhos distintos para (0,0), concluímos que o limite lim (x, y) (0,0) x y+y^3x^2+y^2 não existe.

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