Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
(a) A=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2<1;
(b) B=(x, y) in R^2 mid x e y são inteiros ;
© C=(x, y) in R^2 mid x+y >= 1;
(d) D=(1n, 1) rvert, n neq 0 natural .

Passo 1

Temos quatro conjuntos em R^2 e queremos achar o conjunto de pontos de acumulação de cada um. Lembrando que p é ponto de acumulação de S se todo disco centrado em p, por menor que seja, contém algum ponto de S diferente de p próprio.

Passo 2

Para (a), note que A=(x,y)mid x^2+y^2<1 é o disco aberto de raio 1. Todo ponto interno a A é acumulado (bastam discos pequenos). Além disso, qualquer ponto da fronteira x^2+y^2=1 também é acumulação, pois discos centrados ali pegam pontos de A. Assim, o conjunto de acumulação é o disco fechado x^2+y^2<=1.

Passo 3

Para (b), B= Z^2 é discreto: cada ponto isolado. Para um ponto de B, posso escolher um disco muito pequeno que contenha só ele e nenhum outro de B. Logo, não há ponto de acumulação, isto é, o conjunto de acumulação é vazio.

Passo 4

Para ©, C=(x,y)mid x+y>=1 é um semiplano fechado. Qualquer ponto com x+y>1 é interior e acumulação, e qualquer ponto da reta x+y=1 também é acumulação porque discos ao redor dele interceptam pontos do semiplano. Não há isolados nem fora de C. Portanto, o conjunto de acumulação é o próprio semiplano x+y>=1.

Passo 5

Para (d), D=(1/n,1):nin N é uma sequência de pontos sobre a reta y=1 que tende a (0,1). Cada ponto (1/n,1) com n fixo é isolado (basta um disco menor que a metade da distância ao vizinho mais próximo). O único ponto que é limite de pontos distintos é (0,1), que nem está em D mas todo disco centrado nele contém (1/n,1) para n grande. Assim, o conjunto de acumulação é {(0,1)}.

Resposta

a) (x,y)in R^2: x^2+y^2<=1;
b) emptyset;
c) (x,y)in R^2: x+y>=1;
d) (0,1).

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