Determine as derivadas parciais de:
w=4 x^{3} z-3 x^{2} y z^{2}-4 x y^{2} z^{3}-6 y^{3} z^{4}-y+6

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
w = 4x^3z ;-; 3x^2yz^2 ;-; 4xy^2z^3 ;-; 6y^3z^4 ;-; y ;+; 6
em relação a x, y e z. Vamos usar as regras de soma, potência e produto, tratando as outras variáveis como constantes em cada derivação.

Passo 2

Para partial wpartial x derivamos cada termo em x, mantendo y e z constantes:
  • 4x^3z to 12x^2z (regra da potência e constante z).
  • -3x^2yz^2 to -6x,y,z^2.
  • -4xy^2z^3 to -4y^2z^3.
  • Os termos -6y^3z^4, -y e 6 não dependem de x, então derivam zero.
    Logo,
partial wpartial x = 12x^2z ;-; 6x,y,z^2 ;-; 4y^2z^3

Passo 3

Para partial wpartial y derivamos cada termo em y, mantendo x e z constantes:
  • 4x^3z to 0.
  • -3x^2yz^2 to -3x^2z^2.
  • -4xy^2z^3 to -8x,y,z^3.
  • -6y^3z^4 to -18y^2z^4.
  • -y to -1.
  • 6 to 0.
    Portanto,
partial wpartial y = -3x^2z^2 ;-; 8x,y,z^3 ;-; 18y^2z^4 ;-; 1

Passo 4

Para partial wpartial z derivamos cada termo em z, mantendo x e y constantes:
  • 4x^3z to 4x^3.
  • -3x^2yz^2 to -6x^2y,z.
  • -4xy^2z^3 to -12x,y^2z^2.
  • -6y^3z^4 to -24y^3z^3.
  • -y e 6 to 0.
    Assim,
partial wpartial z = 4x^3 ;-; 6x^2y,z ;-; 12x,y^2z^2 ;-; 24y^3z^3

Resposta

partial wpartial x = 12x^2z ;-; 6x,y,z^2 ;-; 4y^2z^3, partial wpartial y = -3x^2z^2 ;-; 8x,y,z^3 ;-; 18y^2z^4 ;-; 1, partial wpartial z = 4x^3 ;-; 6x^2y,z ;-; 12x,y^2z^2 ;-; 24y^3z^3

Exercícios relacionados