Determine as derivadas
e
parciais nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para gente encontrar as derivadas parciais
e
da função
. A função está definida de duas formas: uma para qualquer ponto diferente de
e outra para o ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da derivada de funções de várias variáveis e lidar com situações pontuais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde
. A função é dada por:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos tratar
como uma constante ao derivar em relação a
, e vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular
. Usamos a regra do quociente para derivadas:
Explicando: derivamos o numerador com respeito a
, multiplicamos pelo denominador e subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Isso nos dá a derivada parcial em relação a
para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Novamente, usamos a regra do quociente:
Aqui, derivamos o numerador com respeito a
, multiplicamos pelo denominador e subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Passo 6
Simplificando essa expressão:
Então, essa é a derivada parcial em relação a
para
.
Passo 7
Agora, precisamos verificar as derivadas no ponto
. Para isso, usamos o limite definição das derivadas parciais:
Como
, simplificamos.
Passo 8
Calculando
:
Então,
Passo 9
Calculando
:
Então,
Resposta
As derivadas parciais são:
e