Determine as derivadas partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) parciais nos seguintes casos:
f(x, y)=clll3 x^3-2 y^3x^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para gente encontrar as derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) da função f(x, y). A função está definida de duas formas: uma para qualquer ponto diferente de (0,0) e outra para o ponto (0,0). Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da derivada de funções de várias variáveis e lidar com situações pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde (x, y) neq (0,0). A função é dada por:
f(x, y) = 3x^3 - 2y^3x^2 + y^2
Para encontrar as derivadas parciais, vamos tratar y como uma constante ao derivar em relação a x, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x. Usamos a regra do quociente para derivadas:
partial fpartial x = (9x^2)(x^2 + y^2) - (3x^3 - 2y^3)(2x)(x^2 + y^2)^2
Explicando: derivamos o numerador com respeito a x, multiplicamos pelo denominador e subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

Passo 4

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = 9x^4 + 9x^2y^2 - 6x^4 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2 = 3x^4 + 9x^2y^2 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2
Isso nos dá a derivada parcial em relação a x para (x, y) neq (0,0).

Passo 5

Agora, vamos encontrar partial fpartial y. Novamente, usamos a regra do quociente:
partial fpartial y = (-6y^2)(x^2 + y^2) - (3x^3 - 2y^3)(2y)(x^2 + y^2)^2
Aqui, derivamos o numerador com respeito a y, multiplicamos pelo denominador e subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

Passo 6

Simplificando essa expressão:
partial fpartial y = -6x^2y^2 - 6y^4 - 6x^3y + 4y^4 (x^2 + y^2)^2 = -6x^2y^2 - 6x^3y - 2y^4 (x^2 + y^2)^2
Então, essa é a derivada parcial em relação a y para (x, y) neq (0,0).

Passo 7

Agora, precisamos verificar as derivadas no ponto (0,0). Para isso, usamos o limite definição das derivadas parciais:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
Como f(0,0) = 0, simplificamos.

Passo 8

Calculando partial fpartial x(0,0):
f(h,0) = 3h^3 - 0h^2 + 0 = 3h
Então,
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 3hh = 3

Passo 9

Calculando partial fpartial y(0,0):
f(0,k) = 0 - 2k^30 + k^2 = -2k
Então,
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 -2kk = -2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x(x, y) = 3x^4 + 9x^2y^2 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) 3 & se (x, y) = (0,0)
e
partial fpartial y(x, y) = -6x^2y^2 - 6x^3y - 2y^4 (x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) -2 & se (x, y) = (0,0)

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