Prove que todo número com três algarismos iguais é divisível por 37.

Passo 1

O enunciado pede para provar que todo número de três dígitos iguais (como 111, 222, 333, …, 999) é divisível por 37. O conteúdo aqui envolve representação decimal de números e fatoração simples de inteiros.

Passo 2

Vamos representar genericamente um número com três dígitos iguais. Se o dígito repetido for d, o número é
N = 100d + 10d + d

Passo 3

Agrupando, temos
N = d,(100 + 10 + 1) = 111,d

Passo 4

Agora precisamos mostrar que 111 é múltiplo de 37. Para isso, fatoramos 111. É fácil verificar que
111 = 3 times 37

Passo 5

Substituindo na expressão de N, vem
N = 111,d = (3 times 37),d = 37,(3d) Como 3d é um inteiro, concluímos que N é múltiplo de 37, ou seja, divisível por 37.

Resposta

Como qualquer número de três dígitos iguais pode ser escrito como N=111d=37,(3d), ele é sempre divisível por 37.

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