Determine as derivadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de $ I $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial I}{\partial x} $ e $ \frac{\partial I}{\partial y} $. A função que temos é $ z = e^{\sin(x \sqrt{x})} $. Vamos precisar entender como $ z $ se relaciona com $ I $ e depois usar as regras de derivação para encontrar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que $ I $ é igual a $ z $, ou seja, $ I = z = e^{\sin(x \sqrt{x})} $. Agora queremos encontrar $ \frac{\partial I}{\partial x} $.
Para derivar $ I $ em relação a $ x $, vamos usar a regra da cadeia. A função $ z $ é composta por uma função exponencial e uma função seno dentro dela. Então, a derivada será:
Agora, vamos derivar $ x \sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então:
Derivando $ x^{3/2} $ em relação a $ x $:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial I}{\partial y} $. Observamos que a função $ I = e^{\sin(x \sqrt{x})} $ não depende da variável $ y $ de forma alguma. Isso significa que $ I $ é uma função que só varia com $ x $ e não muda quando $ y $ varia.
Portanto, a derivada parcial de $ I $ em relação a $ y $ é simplesmente zero:
Resposta
As derivadas parciais são:
e