Exercício 1. (6 pontos) Calcule f^prime(x) para:
f(x)=x^3 ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ f(x) = x^{3} \ln \left(x^{2}+1\right) $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como essas regras funcionam para conseguir achar $ f’(x) $.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes que estão sendo multiplicadas na função $ f(x) $. Aqui temos:
  • $ u(x) = x^{3} $
  • $ v(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada dela é:
u(x)
Ou seja, a derivada do primeiro termo multiplicada pelo segundo, mais o primeiro termo multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 4

Vamos calcular $ u’(x) $, que é a derivada de $ u(x) = x^{3} $. Usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $:
u'(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ v’(x) $, que é a derivada de $ v(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $, então:
v'(x)
Aqui, $ g(x) = x^{2} + 1 $ e $ g’(x) = 2x $.

Passo 6

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto:
u'(x)

Passo 7

Vamos simplificar a segunda parte:
x^3 cdot 2xx^2 + 1 = 2x^4x^2 + 1
Então, juntando tudo:
f'(x) = 3x^2 ln(x^2 + 1) + 2x^4x^2 + 1

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{3} \ln \left(x^{2}+1\right) $ é:
f(x) = x^3 ln (x^2+1)

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