Exercício 1. (6 pontos) Calcule
para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ f(x) = x^{3} \ln \left(x^{2}+1\right) $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como essas regras funcionam para conseguir achar $ f’(x) $.
Passo 2
Primeiro, identifique as duas partes que estão sendo multiplicadas na função $ f(x) $. Aqui temos:
- $ u(x) = x^{3} $
- $ v(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) $
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra do produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada dela é:
Ou seja, a derivada do primeiro termo multiplicada pelo segundo, mais o primeiro termo multiplicado pela derivada do segundo.
Passo 4
Vamos calcular $ u’(x) $, que é a derivada de $ u(x) = x^{3} $. Usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ v’(x) $, que é a derivada de $ v(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(g(x)) $ é $ \frac{g’(x)}{g(x)} $, então:
Aqui, $ g(x) = x^{2} + 1 $ e $ g’(x) = 2x $.
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar a segunda parte:
Então, juntando tudo:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x^{3} \ln \left(x^{2}+1\right) $ é: