Determine as derivadas das seguintes funções. (Cada item vale 1.0, escolham 4 deles para resolver, caso resolvam todos, considerarei os quatro primeiros apresentados).
lx=2 t-1 y=t^3+5, t in R

Passo 1

Temos as funções paramétricas
x=2t−1 e y=t^3+5
o conteúdo aqui é derivação paramétrica. Para resolver, vamos precisar das definições:

dx/dt

dy/dt

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

d^2y/dx^2 = ddt(dy/dx) / (dx/dt)

Passo 2

Para encontrar dx/dt, derivamos x=2t−1 em relação a t. A derivada de 2t é 2 e de −1 é 0, logo:
dxdt = 2

Passo 3

Para encontrar dy/dt, derivamos y=t^3+5 em relação a t. A derivada de t^3 é 3t^2 e de +5 é 0, logo:
dydt = 3t^2

Passo 4

Agora calculamos dy/dx usando a relação dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt):
dydx = 3t^22

Passo 5

Para obter d^2y/dx^2, derivamos dy/dx=3t^2/2 em relação a t e dividimos por dx/dt=2:
Derivada de 3t^2/2 em relação a t é 3t, então:
d^2ydx^2 = 3t2

Resposta

dx/dt = 2, dy/dt = 3t^2, dy/dx = 3t^22, d^2y/dx^2 = 3t2

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