(a) Determine a solução geral do sistema de equações:
l x1^prime(t)=-3 x1(t)+4 x2(t) x2^prime(t)=-2 x1(t)+3 x2(t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs de primeira ordem x'=Ax, onde
A=-3 & 4 -2 & 3
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro montamos o polinômio característico de A usando
det(A-lambda I)=det-3-lambda & 4 -2 & 3-lambda
que dá
(-3-lambda)(3-lambda)-(-8)=lambda^2-1=0

Passo 3

Da equação lambda^2-1=0 obtemos os autovalores
lambda1=1, lambda2=-1

Passo 4

Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0:
-4 & 4 -2 & 2v1 v2=0
Isso leva a v1=v2. Podemos escolher como autovetor
v^(1)=(1,1)^T.

Passo 5

Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0:
-2 & 4 -2 & 4v1 v2=0
Isso leva a v1=2v2. Podemos escolher
v^(2)=(2,1)^T.

Passo 6

Finalmente, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções associadas:
x(t)=C1e^tv^(1)+C2e^-tv^(2)

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1e^t11+C2e^-t21,
ou, em componentes,
x1(t)=C1e^t+2C2e^-t, x2(t)=C1e^t+C2e^-t

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