Esboçar o gráfico da função f(x)=3 x^4-4 x^3 e determinar, se possível, os conjuntos domínio, contra-domínio e imagem de f , pontos de interseção com os eixos Ox e Oy , os pontos de máximo e/ou de mínimo, os intervalos de crescimento e/ou decrescimento, intervalos com concavidade para cima ou para baixo, pontos de inflexão e retas assíntotas. Não esqueça de esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é esboçar o gráfico da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ e encontrar várias características como domínio, pontos de interseção, máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e retas assíntotas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para entender o comportamento da função.

Passo 2

Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $, vemos que é um polinômio. Polinômios estão definidos para todos os números reais.
Então, o domínio é:
x

Passo 3

Contra-domínio e imagem
O contra-domínio geralmente é considerado como todos os valores possíveis que a função pode assumir. Para polinômios de grau par com coeficiente principal positivo, o gráfico tende ao infinito positivo quando $ x $ vai para $ \pm \infty $.
Portanto:
x í
pm infty í
Vamos descobrir $ f_{mínimo} $ mais adiante quando encontrarmos os pontos de mínimo.

Passo 4

Pontos de interseção com os eixos Ox e Oy
Interseção com o eixo Oy:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Oy, avaliamos $ f(0) $:
f(0)
Então, o ponto de interseção com o eixo Oy é $ (0, 0) $.
Interseção com o eixo Ox:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Ox, resolvemos $ f(x) = 0 $:
f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 = 0
(0, 0)
Então, $ x = 0 $ multiplicidade 3 e $ x = \frac{4}{3} $.
Portanto, os pontos de interseção com o eixo Ox são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $.

Passo 5

Pontos de máximo e mínimo
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar a derivada primeira $ f’(x) $ e encontrar onde ela é zero ou não está definida (pontos críticos).
f'(x)
f(x) = 3x^4 - 4x^3
f'(x) = 12x^3 - 12x^2
Agora, igualamos a derivada a zero:
f'(x) = 12x^2(x - 1)
Então, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Para saber se são máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda.
12x^2(x - 1) = 0
Avaliar em $ x = 0 $:
x = 0
Indeterminado, precisamos de outro teste. Vamos verificar a derivada primeira ao redor de 0:
Para $ x < 0 $, $ f’(x) > 0 $, e para $ x > 0 $, $ f’(x) > 0 $. Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de inflexão.
Avaliar em $ x = 1 $:
x = 1
Como $ f’’(1) > 0 $, temos um mínimo local em $ x = 1 $.
Calculando $ f(1) $:
f''(x) = 36x^2 - 24x
Então, o ponto de mínimo é $ (1, -1) $.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento
Usando a derivada primeira $ f’(x) = 12x^{2}(x - 1) $, vamos analisar os sinais:
  • Para $ x < 0 $:
    $ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é negativo.
    Então, $ f’(x) < 0 $ → função está decrescendo.
  • Para $ 0 < x < 1 $:
    $ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é negativo.
    Então, $ f’(x) < 0 $ → função está decrescendo.
  • Para $ x > 1 $:
    $ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é positivo.
    Então, $ f’(x) > 0 $ → função está crescendo.
Resumo:
  • Decresce em $ (-\infty, 1) $
  • Cresce em $ (1, +\infty) $

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda $ f’’(x) = 36x^{2} - 24x $.
Encontramos onde $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 36x^2 - 24x
f''(x) = 0
Então, $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $.
Testando a concavidade:
  • Para $ x < 0 $:
    $ f’’(x) > 0 $ → concavidade para cima.
  • Para $ 0 < x < \frac{2}{3} $:
    $ f’’(x) < 0 $ → concavidade para baixo.
  • Para $ x > \frac{2}{3} $:
    $ f’’(x) > 0 $ → concavidade para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $.
Calculando $ f $ nesses pontos:
  • $ f(0) = 0 $
  • $ f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^4 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 3\left(\frac{16}{81}\right) - 4\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{48}{81} - \frac{32}{27} = \frac{48}{81} - \frac{96}{81} = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} $
Então, os pontos de inflexão são $ \left(0, 0\right) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $.

Passo 8

Retas assíntotas
Retas assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca, geralmente em funções racionais ou exponenciais. Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua e suave para todo $ x $, não existem retas assíntotas.
Então, não há retas assíntotas para $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $.

Passo 9

Esboço do gráfico da função
Com todas as informações reunidas:
  • Domínio: $ \mathbb{R} $
  • Interseções: $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $
  • Ponto de mínimo: $ (1, -1) $
  • Pontos de inflexão: $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $
  • Crescimento: Cresce para $ x > 1 $
  • Decrescimento: Decresce para $ x < 1 $
  • Concavidade: Para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) $; para baixo em $ (0, \frac{2}{3}) $
  • Sem assíntotas
O gráfico começa descendo à medida que $ x $ vai para $ -\infty $, passando pelo ponto de inflexão em $ (0,0) $, continua descendo até atingir o mínimo em $ (1, -1) $, e então começa a subir novamente, passando pela interseção em $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $ e subindo para $ +\infty $.

Resposta

Resumindo, a função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ tem domínio em todos os números reais, cruza os eixos Ox nos pontos $ (0,0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $, e o eixo Oy no ponto $ (0,0) $. Possui um ponto de mínimo em $ (1, -1) $, cresce para $ x > 1 $ e decresce para $ x < 1 $. A concavidade é para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) $, e para baixo em $ (0, \frac{2}{3}) $, com pontos de inflexão em $ (0,0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $. Não há retas assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos, iniciando em $ -\infty $ para $ x $ negativo, alcançando o mínimo em $ (1, -1) $ e subindo novamente para $ +\infty $.

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