Esboçar o gráfico da função
e determinar, se possível, os conjuntos domínio, contra-domínio e imagem de f , pontos de interseção com os eixos Ox e Oy , os pontos de máximo e/ou de mínimo, os intervalos de crescimento e/ou decrescimento, intervalos com concavidade para cima ou para baixo, pontos de inflexão e retas assíntotas. Não esqueça de esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é esboçar o gráfico da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ e encontrar várias características como domínio, pontos de interseção, máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e retas assíntotas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para entender o comportamento da função.
Passo 2
Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $, vemos que é um polinômio. Polinômios estão definidos para todos os números reais.
Então, o domínio é:
Passo 3
Contra-domínio e imagem
O contra-domínio geralmente é considerado como todos os valores possíveis que a função pode assumir. Para polinômios de grau par com coeficiente principal positivo, o gráfico tende ao infinito positivo quando $ x $ vai para $ \pm \infty $.
Portanto:
Vamos descobrir $ f_{mínimo} $ mais adiante quando encontrarmos os pontos de mínimo.
Passo 4
Pontos de interseção com os eixos Ox e Oy
Interseção com o eixo Oy:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Oy, avaliamos $ f(0) $:
Então, o ponto de interseção com o eixo Oy é $ (0, 0) $.
Interseção com o eixo Ox:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Ox, resolvemos $ f(x) = 0 $:
Então, $ x = 0 $ multiplicidade 3 e $ x = \frac{4}{3} $.
Portanto, os pontos de interseção com o eixo Ox são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $.
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar a derivada primeira $ f’(x) $ e encontrar onde ela é zero ou não está definida (pontos críticos).
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Para saber se são máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda.
Avaliar em $ x = 0 $:
Indeterminado, precisamos de outro teste. Vamos verificar a derivada primeira ao redor de 0:
Para $ x < 0 $, $ f’(x) > 0 $, e para $ x > 0 $, $ f’(x) > 0 $. Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de inflexão.
Avaliar em $ x = 1 $:
Como $ f’’(1) > 0 $, temos um mínimo local em $ x = 1 $.
Calculando $ f(1) $:
Então, o ponto de mínimo é $ (1, -1) $.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Usando a derivada primeira $ f’(x) = 12x^{2}(x - 1) $, vamos analisar os sinais:
-
Para $ x < 0 $:
$ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é negativo.
Então, $ f’(x) < 0 $ → função está decrescendo. -
Para $ 0 < x < 1 $:
$ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é negativo.
Então, $ f’(x) < 0 $ → função está decrescendo. -
Para $ x > 1 $:
$ x^{2} $ é positivo e $ (x - 1) $ é positivo.
Então, $ f’(x) > 0 $ → função está crescendo.
Resumo:
- Decresce em $ (-\infty, 1) $
- Cresce em $ (1, +\infty) $
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda $ f’’(x) = 36x^{2} - 24x $.
Encontramos onde $ f’’(x) = 0 $:
Então, $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $.
Testando a concavidade:
-
Para $ x < 0 $:
$ f’’(x) > 0 $ → concavidade para cima. -
Para $ 0 < x < \frac{2}{3} $:
$ f’’(x) < 0 $ → concavidade para baixo. -
Para $ x > \frac{2}{3} $:
$ f’’(x) > 0 $ → concavidade para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{2}{3} $.
Calculando $ f $ nesses pontos:
- $ f(0) = 0 $
- $ f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^4 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 3\left(\frac{16}{81}\right) - 4\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{48}{81} - \frac{32}{27} = \frac{48}{81} - \frac{96}{81} = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} $
Então, os pontos de inflexão são $ \left(0, 0\right) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $.
Passo 8
Retas assíntotas
Retas assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca, geralmente em funções racionais ou exponenciais. Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua e suave para todo $ x $, não existem retas assíntotas.
Então, não há retas assíntotas para $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $.
Passo 9
Esboço do gráfico da função
Com todas as informações reunidas:
- Domínio: $ \mathbb{R} $
- Interseções: $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $
- Ponto de mínimo: $ (1, -1) $
- Pontos de inflexão: $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $
- Crescimento: Cresce para $ x > 1 $
- Decrescimento: Decresce para $ x < 1 $
- Concavidade: Para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) $; para baixo em $ (0, \frac{2}{3}) $
- Sem assíntotas
O gráfico começa descendo à medida que $ x $ vai para $ -\infty $, passando pelo ponto de inflexão em $ (0,0) $, continua descendo até atingir o mínimo em $ (1, -1) $, e então começa a subir novamente, passando pela interseção em $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $ e subindo para $ +\infty $.
Resposta
Resumindo, a função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} $ tem domínio em todos os números reais, cruza os eixos Ox nos pontos $ (0,0) $ e $ \left(\frac{4}{3}, 0\right) $, e o eixo Oy no ponto $ (0,0) $. Possui um ponto de mínimo em $ (1, -1) $, cresce para $ x > 1 $ e decresce para $ x < 1 $. A concavidade é para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) $, e para baixo em $ (0, \frac{2}{3}) $, com pontos de inflexão em $ (0,0) $ e $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) $. Não há retas assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos, iniciando em $ -\infty $ para $ x $ negativo, alcançando o mínimo em $ (1, -1) $ e subindo novamente para $ +\infty $.