Determine a solução geral do sistema de equações:
l x1 ^prime(t)=x1(t)-2 x2(t) x2 ^prime(t)=2 x1(t)+x2(t)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes: x'(t)=A,x(t). O assunto aqui é resolver sistemas x'=Ax usando autovalores complexos e exponencial de matriz.

Passo 2

Identificamos a matriz de coeficientes associada ao sistema:
A = 1 & -2 2 & 1

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)^2 + 4 = lambda^2 - 2lambda + 5 = 0,
cuja solução é lambda = 1 pm 2i.

Passo 4

Como as raízes são alpha pm ibeta com alpha = 1 e beta = 2, usamos a fórmula do exponencial de matriz:
e^At = e^alpha tl(cos(beta t),I + 1beta(A - alpha I),sin(beta t)r)
Calculando
A - I = 0 & -2 2 & 0, 12(A - I) = 0 & -1 1 & 0,
chegamos a
e^At = e^t cos(2t) & -sin(2t) sin(2t) & cos(2t)

Passo 5

Multiplicando essa matriz pelo vetor de constantes (C1,C2)^T, obtemos a solução geral em forma matricial:
x(t) = e^t cos(2t) & -sin(2t) sin(2t) & cos(2t) C1C2
A partir daí é só extrair as componentes x1(t) e x2(t).

Resposta

x1(t) = e^tl(C1cos(2t) - C2sin(2t)r),
x2(t) = e^tl(C1sin(2t) + C2cos(2t)r),
once C1, C2 in R.

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