Determine as derivadas das seguintes funções
f(x)=e^{-3 x}+\ln (\operatorname{arccos} (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{-3x}+\ln\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia em cada termo.

Passo 2

Para derivar e^{-3x}, identificamos a função interna u(x)=-3x com
u'(x)=-3.
Então, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{-3x} = u'(x)\,e^{u(x)} =-3\,e^{-3x}.

Passo 3

Para derivar \ln(\operatorname{arccos}(x)), chamamos
v(x)=\operatorname{arccos}(x),
cuja derivada é
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x) =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Aplicando a regra do logaritmo,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr) =\frac{v'(x)}{v(x)} =-\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)\,\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Somando os resultados de cada termo, obtemos
f'(x) =-3\,e^{-3x} -\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)\,\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x)=-3\,e^{-3x}-\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)\,\sqrt{1-x^2}}.

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