Item (a) Calcule \int 8 x \ln (x) d x
Dica: use integração por partes com uma escolha adequada para u e d v.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int 8x\,\ln(x)\,dx. O método indicado é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Precisamos identificar uma parte para u (que facilite du) e o restante para dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx,
dv = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int 8x\,dx = 4x^2.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
\int 8x\,\ln(x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = 4x^2\,\ln(x)\;-\;\int 4x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx = 4x^2\,\ln(x)\;-\;\int 4x\,dx.
Agora calculamos
\int 4x\,dx = 2x^2,
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\int 8x\,\ln(x)\,dx = 4x^2\,\ln(x) - 2x^2 + C.

Resposta

4x^2\,\ln(x) - 2x^2 + C.

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