Determine as derivadas das seguintes funções
f(x)=e^{3 x} \operatorname{arccos} (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{3x}\,\operatorname{arccos}(2x).
Para resolver precisamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar e^{3x} e \operatorname{arccos}(2x).

Passo 2

Derivada de e^{3x}.
Usando a regra da cadeia, se h(x)=e^{u(x)} então h'(x)=e^{u(x)}\,u'(x). Aqui u(x)=3x, logo
\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot3=3e^{3x}.

Passo 3

Derivada de \operatorname{arccos}(2x).
Sabendo que \frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(u)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}} e tomando u(x)=2x com u'(x)=2, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(2x)=-\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} =-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \bigl(fg\bigr)'=f'g+fg' com
f(x)=e^{3x},\quad g(x)=\operatorname{arccos}(2x),
obtém-se
f'(x) =(e^{3x})'\,\operatorname{arccos}(2x) +e^{3x}\,\bigl(\operatorname{arccos}(2x)\bigr)' =3e^{3x}\,\operatorname{arccos}(2x) +e^{3x}\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

Passo 5

Fatorando e^{3x}, escrevemos
f'(x) =e^{3x}\Bigl(3\operatorname{arccos}(2x)-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{3x}\Bigl(3\operatorname{arccos}(2x)-\tfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

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