Item (b) A partir do item (a) calcule \int_{1}^{3} 8 x \ln (x) d x e insira a sua resposta abaixo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3}8x\ln(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de um polinômio x e de \ln(x).

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = 8x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int 8x\,dx = 4x^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int 8x\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot 4x^2 \;-\;\int 4x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx =4x^2\ln(x) - 4\int x\,dx.

Passo 4

Calculando a integral restante,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
logo a primitiva geral é
4x^2\ln(x) - 4\cdot\frac{x^2}{2} + C =4x^2\ln(x)-2x^2 + C.

Passo 5

Defina
F(x)=4x^2\ln(x)-2x^2.
Então
F(3)=4\cdot9\ln(3)-2\cdot9=36\ln(3)-18,
F(1)=4\cdot1^2\ln(1)-2\cdot1^2=0-2=-2.
Portanto, a integral vale
F(3)-F(1)=(36\ln(3)-18)-(-2)=36\ln(3)-16.

Resposta

36\ln(3)-16

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