Indique o tipo de indeterminação nos limites a seguir e resolva-os aplicando a Regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{-4 / 3}}{\operatorname{sen}(1 / x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{-4/3}}{\operatorname{sen}(1/x)}
vamos identificar o tipo de indeterminação e resolver usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Ao fazermos x\to+\infty temos
x^{-4/3}\to0 \quad\text{e}\quad \operatorname{sen}(1/x)\to\operatorname{sen}(0)=0,
ou seja, a forma é \tfrac{0}{0}, indeterminação que autoriza usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
– Numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4/3}\bigr) =-\frac{4}{3}\,x^{-7/3}.
– Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(1/x)\bigr] =\cos\bigl(1/x\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(1/x) =-\frac{\cos(1/x)}{x^2}.

Passo 4

A razão das derivadas é
\frac{-\frac{4}{3}\,x^{-7/3}}{-\frac{\cos(1/x)}{x^2}} =\frac{4}{3}\,x^{-7/3}\,\frac{x^2}{\cos(1/x)} =\frac{4}{3}\,\frac{x^{-7/3+2}}{\cos(1/x)} =\frac{4}{3}\,\frac{x^{-1/3}}{\cos(1/x)}.
Fazendo x\to+\infty temos x^{-1/3}\to0 e \cos(1/x)\to1, logo o limite vale 0.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{-4/3}}{\operatorname{sen}(1/x)}=0.

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