Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possível.
f(x)=(x^5-2 x+1)(2 x^3-3 x^2+x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(x^5-2x+1)(2x^3-3x^2+x). O assunto principal aqui é a derivada de um produto de funções, e vamos precisar usar a regra do produto, além de derivar cada fator separadamente.

Passo 2

Chamando u(x)=x^5-2x+1 e v(x)=2x^3-3x^2+x, calculamos as derivadas de cada um:
Primeiro fator:
$$
u’(x)=\frac{d}{dx}(x{5}-2x+1)=5x{4}-2$$
Segundo fator:
$$
v’(x)=\frac{d}{dx}(2x{3}-3x{2}+x)=6x^{2}-6x+1$$

Passo 3

Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(5x^4-2)(2x^3-3x^2+x)+(x^5-2x+1)(6x^2-6x+1)

Passo 4

Agora expandimos cada termo. Para (5x^4-2)(2x^3-3x^2+x):
10x^7-15x^6+5x^5-4x^3+6x^2-2x
Para (x^5-2x+1)(6x^2-6x+1):
6x^7-6x^6+x^5-12x^3+18x^2-8x+1

Passo 5

Somamos os dois resultados, combinando termos semelhantes:
f'(x)&= (10x^7+6x^7)+(-15x^6-6x^6)+(5x^5+x^5)+(-4x^3-12x^3) &+(6x^2+18x^2)+(-2x-8x)+1 &=16x^7-21x^6+6x^5-16x^3+24x^2-10x+1

Resposta

f'(x)=16x^7-21x^6+6x^5-16x^3+24x^2-10x+1

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