Use o método da eliminação para encontrar a solução dos seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias (por exemplo, explicite y(t) na primeira edo e calcule y^prime(t); em seguida, use a outra edo e determine x(t)):
x^prime=x-y, & x(0)=1 y^prime=5 x-3 y, & y(0)=2

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema de EDOs
a seguir por eliminação, que é um método para transformar o sistema em uma única EDO de ordem superior.
Conteúdo: sistemas lineares de duas equações de 1ª ordem e eliminação para obter uma EDO de 2ª ordem.

Passo 2

Da primeira equação temos
x' = x - y
logo podemos isolar
y = x - x'
Derivando ambos os lados em relação a t
y' = x' - x''
Como também sabemos por hipótese que
y' = 5x - 3y,
substituímos y = x - x' nele:
x' - x'' = 5x - 3(x - x') = 2x + 3x'
Reorganizando todos os termos no lado esquerdo:
x'' + 2x' + 2x = 0

Passo 3

Temos agora uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0,
o que leva às raízes complexas conjugadas
r = -1 ,pm i
Portanto, a solução geral de x(t) é
x(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr), onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais. De x(0)=1 segue
A = 1
Calculamos x'(t) derivando:
x'(t) = e^-tl[(B - A)cos t - (A + B)sin tr]
Em t=0, temos x'(0)=B - A = B -1.
Pela primeira equação original y(0)=x(0)-x'(0), logo
2 = 1 - (B - 1) implies B = 0
Assim
x(t) = e^-tcos t

Passo 5

Por fim, obtemos y(t) usando y = x - x':
y(t) = e^-tcos t - l[-e^-t(cos t + sin t)r] = e^-tl(2cos t + sin tr)

Resposta

x(t)=e^{-t}\cos t,\quad y(t)=e^{-t}\bigl(2\cos t + \sin t\bigr)

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