Use o método da eliminação para encontrar a solução dos seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias (por exemplo, explicite
na primeira edo e calcule
; em seguida, use a outra edo e determine
:
Passo 1
Estamos resolvendo o sistema de EDOs
a seguir por eliminação, que é um método para transformar o sistema em uma única EDO de ordem superior.
Conteúdo: sistemas lineares de duas equações de 1ª ordem e eliminação para obter uma EDO de 2ª ordem.
a seguir por eliminação, que é um método para transformar o sistema em uma única EDO de ordem superior.
Conteúdo: sistemas lineares de duas equações de 1ª ordem e eliminação para obter uma EDO de 2ª ordem.
Passo 2
Da primeira equação temos
logo podemos isolar
Derivando ambos os lados em relação a
dá
Como também sabemos por hipótese que
substituímos
nele:
Reorganizando todos os termos no lado esquerdo:
Passo 3
Temos agora uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
o que leva às raízes complexas conjugadas
Portanto, a solução geral de
é
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais. De
segue
Calculamos
derivando:
Em
, temos
.
Pela primeira equação original , logo
Pela primeira equação original
Assim
Passo 5
Por fim, obtemos
usando
:
Resposta
x(t)=e^{-t}\cos t,\quad y(t)=e^{-t}\bigl(2\cos t + \sin t\bigr)