Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
f(x)=(x^5-2 x+1)(2 x^3-3 x^2+x)=16 x^2-21 x^6+6 x^3-16 x^3+24 x^2-10 x+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \left(x^{5} - 2x + 1\right)\left(2x^{3} - 3x^{2} + x\right) $, que também foi expandida para $ 16x^{7} - 21x^{6} + 6x^{5} - 16x^{3} + 24x^{2} - 10x + 1 $. O objetivo é encontrar a derivada dessa função, simplificando ao máximo. Para isso, vamos usar a regra do produto e as regras básicas de derivação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz que se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
f(x) = u(x) cdot v(x)
Aqui, vamos identificar:
  • $ u(x) = x^{5} - 2x + 1 $
  • $ v(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + x $

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ u(x) $, que chamaremos de $ u’(x) $. Para isso, aplicamos a regra da potência, que nos diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
u(x)
u'(x)
x^n

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) $, ou seja, encontrar $ v’(x) $.
v(x)
v'(x)

Passo 5

Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculados, aplicamos a regra do produto:
u'(x)
Substituindo os valores:
v'(x)

Passo 6

Vamos agora expandir cada uma dessas multiplicações:
Primeira parte:
(5x^4 - 2) cdot (2x^3 - 3x^2 + x) = 5x^4 cdot 2x^3 + 5x^4 cdot (-3x^2) + 5x^4 cdot x - 2 cdot 2x^3 - 2 cdot (-3x^2) - 2 cdot x
= 10x^7 - 15x^6 + 5x^5 - 4x^3 + 6x^2 - 2x
Segunda parte:
(x^5 - 2x + 1) cdot (6x^2 - 6x + 1) = x^5 cdot 6x^2 + x^5 cdot (-6x) + x^5 cdot 1 - 2x cdot 6x^2 - 2x cdot (-6x) - 2x cdot 1 + 1 cdot 6x^2 + 1 cdot (-6x) + 1 cdot 1
= 6x^7 - 6x^6 + x^5 - 12x^3 + 12x^2 - 2x + 6x^2 - 6x + 1
= 6x^7 - 6x^6 + x^5 - 12x^3 + 18x^2 - 8x + 1

Passo 7

Agora, somamos as duas partes expandidas:
(10x^7 - 15x^6 + 5x^5 - 4x^3 + 6x^2 - 2x) + (6x^7 - 6x^6 + x^5 - 12x^3 + 18x^2 - 8x + 1)
= (10x^7 + 6x^7) + (-15x^6 - 6x^6) + (5x^5 + x^5) + (-4x^3 - 12x^3) + (6x^2 + 18x^2) + (-2x - 8x) + 1
= 16x^7 - 21x^6 + 6x^5 - 16x^3 + 24x^2 - 10x + 1

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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