Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \left(x^{5} - 2x + 1\right)\left(2x^{3} - 3x^{2} + x\right) $, que também foi expandida para $ 16x^{7} - 21x^{6} + 6x^{5} - 16x^{3} + 24x^{2} - 10x + 1 $. O objetivo é encontrar a derivada dessa função, simplificando ao máximo. Para isso, vamos usar a regra do produto e as regras básicas de derivação de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz que se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
Aqui, vamos identificar:
- $ u(x) = x^{5} - 2x + 1 $
- $ v(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + x $
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ u(x) $, que chamaremos de $ u’(x) $. Para isso, aplicamos a regra da potência, que nos diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) $, ou seja, encontrar $ v’(x) $.
Passo 5
Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculados, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos agora expandir cada uma dessas multiplicações:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes expandidas:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: