Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
e) ly^prime=4(y^2+1) y(pi4)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'=4(y^2+1) com y(pi/4)=1. O conteúdo a ser usado é separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
dyy^2+1=4,dx

Passo 3

Integre ambos os lados da igualdade:
integraldyy^2+1=integral4,dx
Usando integraldyy^2+1=arctan y e integral4,dx=4x+C, obtemos
arctan y=4x+C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(pi/4)=1:
arctan(1)=tfracpi4=4cdottfracpi4+C=pi+C C=tfracpi4-pi=-tfrac3pi4

Passo 5

Substitua C na solução geral e isole y:
arctan y=4x-tfrac3pi4
Portanto,
y(x)=tanl(4x-tfrac3pi4r)

Resposta

y(x)=tanl(4x-tfrac3pi4r)

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