Suponha que, inicialmente, há 120 gramas do isótopo de chumbo Pb-209. Se Q(t) representa a massa de chumbo no instante t (em horas), temos que Q(t) satisfaz a equação
d Qd t=-15 Q
a) Resolva o problema de valor inicial para Q(t).
b) Determine o instante de tempo T para que a massa se reduza a 60 g , isto é, determine T satisfazendo Q(T)=60.

Passo 1

O enunciado descreve um decaimento radioativo do isótopo Pb-209 com massa inicial de 120 g e equação diferencial de primeira ordem dQ/dt=-(1/5)Q. O conteúdo envolvido é equação diferencial separável e modelo de decaimento exponencial. Precisamos resolver o problema de valor inicial e depois encontrar o tempo T tal que Q(T)=60.

Passo 2

Para resolver dQdt=-15Q usamos separação de variáveis. Separamos as variáveis Q e t:
dQQ=-15,dt
e integramos ambos os lados:
integraldQQ= -15integral dt implies ln|Q|=-t5+C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial Q(0)=120. Da relação ln|Q|=-t/5+C temos Q=e^-t/5+C=K e^-t/5. Como Q(0)=K=120, obtemos:
Q(t)=120,e^-t/5

Passo 4

Para encontrar T tal que Q(T)=60, substituímos na solução:
60=120,e^-T/5implies e^-T/5=12implies -T5=lnl(tfrac12r)=-ln2
Portanto:
T=5ln2

Resposta

Q(t)=120,e^-t/5 e T=5ln2 horas.

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