Suponha que, inicialmente, há 120 gramas do isótopo de chumbo
. Se
representa a massa de chumbo no instante
(em horas), temos que
satisfaz a equação
a) Resolva o problema de valor inicial para
.
b) Determine o instante de tempo
para que a massa se reduza a 60 g , isto é, determine
satisfazendo
.
b) Determine o instante de tempo
Passo 1
O enunciado descreve um decaimento radioativo do isótopo Pb-209 com massa inicial de 120 g e equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo envolvido é equação diferencial separável e modelo de decaimento exponencial. Precisamos resolver o problema de valor inicial e depois encontrar o tempo
tal que
.
Passo 2
Para resolver
usamos separação de variáveis. Separamos as variáveis
e
:
e integramos ambos os lados:
Passo 3
Agora aplicamos a condição inicial
. Da relação
temos
. Como
, obtemos:
Passo 4
Para encontrar
tal que
, substituímos na solução:
Portanto: