Esboce a região limitada pelas retas curvas dadas. Depois expresse a área da regiảo como uma ntegral dupla iterada e calcule a integral.
As parábolas
e
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As parábolas
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas x=y² e x=2y−y², expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e calcular essa integral. Vamos usar conceitos de integração dupla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para encontrar os limites, igualamos as duas parábolas:
Rearranjando,
Logo, as curvas se interceptam em y=0 e y=1.
Passo 3
As duas curvas são parábolas em função de y: x=y² abre para a direita e x=2y−y² é uma parábola invertida (abre para a esquerda) com vértice em (1,1). Para y entre 0 e 1 elas formam uma ‘lente’.
Passo 4
Descrevemos a região R assim: para cada y∈[0,1], x varia de x=y² até x=2y−y². A área é
Passo 5
Calculando a integral interna obtemos 2y−y²−y²=2y−2y². Então