Esboce a região limitada pelas retas curvas dadas. Depois expresse a área da regiảo como uma ntegral dupla iterada e calcule a integral.
As parábolas x=y^2 e x=2 y-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas x=y² e x=2y−y², expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e calcular essa integral. Vamos usar conceitos de integração dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para encontrar os limites, igualamos as duas parábolas:
y^2 = 2y - y^2
Rearranjando,
2y^2 - 2y = 0 ,Longrightarrow, 2y(y-1)=0
Logo, as curvas se interceptam em y=0 e y=1.

Passo 3

As duas curvas são parábolas em função de y: x=y² abre para a direita e x=2y−y² é uma parábola invertida (abre para a esquerda) com vértice em (1,1). Para y entre 0 e 1 elas formam uma ‘lente’.

Passo 4

Descrevemos a região R assim: para cada y∈[0,1], x varia de x=y² até x=2y−y². A área é
Área(R)=integral duplaRdA=integraly=0^1integralx=y^2^,2y - y^2dx,dyÁ

Passo 5

Calculando a integral interna obtemos 2y−y²−y²=2y−2y². Então
Área(R)=integral0^1(2y - 2y^2),dy=l[y^2 - tfrac23y^3r]0^1=1 - tfrac23=tfrac13Á

Resposta

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