Determine e desenhe a região D do plano x y tal que
\int_{1}^{2} \int_{0}^{\ln x} f(x, y) d y d x=\iint_{D} f(x, y) d A A seguir, represente esta integral dupla por meio da outra integral iterada.

Passo 1

O enunciado me dá a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{\ln x} f(x,y)\,dy\,dx
e pede duas coisas: (1) determinar e desenhar a região D do plano xy tal que
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\ln x} f(x,y)\,dy\,dx,
e (2) representar essa mesma integral dupla como a outra integral iterada (ou seja, trocar a ordem de integração). As informações importantes que temos do enunciado são:
\text{para }x\text{ variando em }[1,2]\text{, temos }y\text{ variando de }0\text{ até }\ln x.é
Não há outras restrições: f é qualquer função integrável sobre a região indicada.

Passo 2

Vamos escrever a descrição da região D exatamente com base nos limites da integral dada. A condição "para x em [1,2], y vai de 0 até \ln x" significa, em termos de conjunto,
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 2,\\\ 0\le y\le \ln x\}.
Interpretação: para cada x entre \,1 e \,2 pegamos os pontos (x,y) com y entre a reta horizontal y=0 e a curva y=\ln x. Essa é a definição precisa de D.

Passo 3

Como desenhar D (passo a passo para fazer rápido na prova):
  1. Desenha os eixos x e y.
  2. Traça a curva y=\ln x apenas no intervalo x\in[1,2]. Lembre que \ln 1=0 e \ln 2 é um número positivo; a curva sobe suavemente.
  3. Traça a reta horizontal y=0 (eixo x).
  4. Marca as linhas verticais x=1 e x=2 — elas cortam y=\ln x nos pontos (1,0) e (2,\ln 2).
  5. A região D é a “fatia” entre y=0 e y=\ln x para x de 1 a 2: ou seja, a área sombreada abaixo da curva y=\ln x, acima de y=0, limitada à direita por x=2 e à esquerda em x=1 (na prática a borda esquerda é o ponto (1,0), mas a desigualdade 1\le x\le2 torna isso formal). Pontos-chave para marcar: (1,0), (2,0), (2,\ln 2). Sombreie a região entre essas curvas.

Passo 4

Agora vou transformar a descrição de D para poder escrever a integral com a ordem dy\,dx trocada para dx\,dy. Partimos de
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\\\ 0\le y\le \ln x\}.
Queremos expressar D como um conjunto em que y varia numa certa faixa e, para cada y, x varia entre duas funções de y. Começamos por isolar x na desigualdade y\le \ln x. Exponenciando (função e^{(\cdot)}, que é crescente), obtemos
y\le \ln x \quad\Longleftrightarrow\quad e^{y}\le x.
Como também temos 1\le x\le 2, para um dado y o x admissível satisfaz
\max\{1,e^{y}\}\le x\le 2.
Agora precisamos do intervalo de y possível. Pelas desigualdades originais temos 0\le y e também y\le \ln x\le \ln 2 (pois x\le 2), então
0\le y\le \ln 2.
Para y nesse intervalo, note que e^{y}\ge e^{0}=1, portanto \max\{1,e^{y}\}=e^{y}. Assim a descrição de D em termos de y primeiro fica
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le \ln 2,\\ e^{y}\le x\le 2\}.

Passo 5

Com essa descrição pronta, podemos escrever a integral com a ordem trocada. A integral original é igual à integral dupla sobre D, que por sua vez é igual à integral com y variando primeiro:
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\ln x} f(x,y)\,dy\,dx=\int_{0}^{\ln 2}\int_{e^{y}}^{2} f(x,y)\,dx\,dy.
Comentário didático final: o procedimento geral para trocar a ordem é sempre (1) escrever as desigualdades que definem D a partir dos limites dados, (2) substituir/isolá-las para obter x em função de y ou vice-versa, (3) achar o novo intervalo para a variável externa, verificando extremos (aqui deram y de 0 a \ln 2), e (4) escrever a nova integral. Dá para fazer isso direto no rascunho do caderno antes de passar para a resposta final.

Resposta

D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\\\ 0\le y\le \ln x\}
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{0}^{\ln 2}\int_{e^{y}}^{2} f(x,y)\,dx\,dy

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