Determine e desenhe a região
do plano
tal que
Passo 1
O enunciado me dá a integral iterada
e pede duas coisas: (1) determinar e desenhar a região
do plano
tal que
e (2) representar essa mesma integral dupla como a outra integral iterada (ou seja, trocar a ordem de integração). As informações importantes que temos do enunciado são:
Não há outras restrições:
é qualquer função integrável sobre a região indicada.
Passo 2
Vamos escrever a descrição da região
exatamente com base nos limites da integral dada. A condição "para
em
,
vai de
até
" significa, em termos de conjunto,
Interpretação: para cada
entre
e
pegamos os pontos
com
entre a reta horizontal
e a curva
. Essa é a definição precisa de
.
Passo 3
Como desenhar
(passo a passo para fazer rápido na prova):
- Desenha os eixos
e . - Traça a curva
apenas no intervalo . Lembre que e é um número positivo; a curva sobe suavemente. - Traça a reta horizontal
(eixo ). - Marca as linhas verticais
e — elas cortam nos pontos e . - A região
é a “fatia” entre e para de a : ou seja, a área sombreada abaixo da curva , acima de , limitada à direita por e à esquerda em (na prática a borda esquerda é o ponto , mas a desigualdade torna isso formal). Pontos-chave para marcar: , , . Sombreie a região entre essas curvas.
Passo 4
Agora vou transformar a descrição de
para poder escrever a integral com a ordem
trocada para
. Partimos de
Queremos expressar
como um conjunto em que
varia numa certa faixa e, para cada
,
varia entre duas funções de
. Começamos por isolar
na desigualdade
. Exponenciando (função
, que é crescente), obtemos
Como também temos
, para um dado
o
admissível satisfaz
Agora precisamos do intervalo de
possível. Pelas desigualdades originais temos
e também
(pois
), então
Para
nesse intervalo, note que
, portanto
. Assim a descrição de
em termos de
primeiro fica
Passo 5
Com essa descrição pronta, podemos escrever a integral com a ordem trocada. A integral original é igual à integral dupla sobre
, que por sua vez é igual à integral com
variando primeiro:
Comentário didático final: o procedimento geral para trocar a ordem é sempre (1) escrever as desigualdades que definem
a partir dos limites dados, (2) substituir/isolá-las para obter
em função de
ou vice-versa, (3) achar o novo intervalo para a variável externa, verificando extremos (aqui deram
de
a
), e (4) escrever a nova integral. Dá para fazer isso direto no rascunho do caderno antes de passar para a resposta final.