Calcule, por meio de uma integral dupla, o volume V do tetraedro no primeiro octante delimitado pelo plano x+2 y+z=1 e os planos coordenados. Confirme a fórmula V=\frac{1}{3} (área da base).(altura).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular, por meio de uma integral dupla, o volume V do tetraedro no primeiro octante delimitado pelo plano x+2y+z=1 e pelos planos coordenados; (2) confirmar a fórmula V=\tfrac{1}{3}(área da base) \cdot(altura).\n
Informações dadas que vamos usar: o sólido está no primeiro octante, ou seja x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, e é limitado acima pelo plano x+2y+z=1. Não há outras informações escondidas — a fronteira no plano z=0 será a projeção (base) do tetraedro no plano xy.

Passo 2

Entendimento geométrico e expressão da superfície: do plano dado isolamos z como função de x,y:
z = 1 - x - 2y.
Esse z é a altura do sólido acima do ponto (x,y) da base projetada no plano xy. A base D é a região do plano xy onde z\ge 0 com x\ge0 e y\ge0. Portanto D é dado por
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;1-x-2y\ge0\},
ou seja a desigualdade x+2y\le 1 junto com x,y\ge0. Vamos identificar os vértices de D: tomando y=0,z=0 obtemos x=1 (vértice (1,0)); tomando x=0,z=0 obtemos 2y=1\Rightarrow y=\tfrac{1}{2} (vértice (0,\tfrac{1}{2})); e há o vértice na origem (0,0). Assim D é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Princípio da integral dupla para volume: o volume do sólido sob a superfície z=f(x,y) sobre a região D é
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=1-x-2y. Assim:
V=\iint_{D} (1-x-2y)\,dA.
Essa é exatamente a integral dupla pedida: somamos as “alturas” z sobre cada elemento de área dA da base.

Passo 4

Escolha da ordem de integração e limites: é prático integrar primeiro em x (horizontalmente) e depois em y. Para um y fixo com 0\le y\le \tfrac{1}{2}, a desigualdade x+2y\le1 0\le x\le 1-2y. Logo os limites são y de 0 a \tfrac{1}{2} e x de 0 a 1-2y. Escrevemos a integral iterada:
V=\int_{y=0}^{1/2}\int_{x=0}^{1-2y} (1-x-2y)\,dx\,dy.

Passo 5

Cálculo da integral interna (integração em x): calculamos
\int_{x=0}^{1-2y} (1-x-2y)\,dx.
Integramos termo a termo: uma primitiva é x-\tfrac{x^{2}}{2}-2yx. Avaliando entre 0 e 1-2y obtemos
\bigg[x-\tfrac{x^{2}}{2}-2yx\bigg]_{0}^{1-2y}=(1-2y)-\tfrac{(1-2y)^{2}}{2}-2y(1-2y).
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro expandimos (1-2y)^{2}=1-4y+4y^{2} e então
\tfrac{(1-2y)^{2}}{2}=\tfrac{1}{2}-2y+2y^{2},
além de
2y(1-2y)=2y-4y^{2}.
Substituindo e simplificando:
(1-2y)-\Big(\tfrac{1}{2}-2y+2y^{2}\Big)-(2y-4y^{2}).
Agrupando termos:
1-2y-\tfrac{1}{2}+2y-2y-2y^{2}+4y^{2}=\tfrac{1}{2}-2y+2y^{2}.
Portanto a integral interna reduz-se a
\int_{x=0}^{1-2y} (1-x-2y)\,dx=\tfrac{1}{2}-2y+2y^{2}.

Passo 6

Cálculo da integral externa (integração em y): agora integramos de y=0 a y=\tfrac{1}{2}:
V=\int_{0}^{1/2}\Big(\tfrac{1}{2}-2y+2y^{2}\Big)\,dy.
Calculamos primitiva termo a termo:
\int \tfrac{1}{2}\,dy=\tfrac{1}{2}y,\qquad \int -2y\,dy=-y^{2},\qquad \int 2y^{2}\,dy=\tfrac{2}{3}y^{3}.
Assim
V=\Big[\tfrac{1}{2}y - y^{2} + \tfrac{2}{3}y^{3}\Big]_{0}^{1/2}.
Avaliação em y=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} - \Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{2} + \tfrac{2}{3}\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{3} = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{8} =0+\tfrac{2}{24}=\tfrac{1}{12}.
Portanto a integral dupla dá
V=\tfrac{1}{12}.

Passo 7

Confirmação da fórmula V=\tfrac{1}{3}(área da base) \cdot(altura): a base do tetraedro é o triângulo D no plano z=0 com vértices (0,0),(1,0),(0,\tfrac{1}{2}). A área desse triângulo é
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura})=\tfrac{1}{2}\times 1\times \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.Á
A altura do tetraedro (distância entre a base z=0 e o vértice superior no eixo z) é o intercepto z do plano, que é 1. Aplicando a fórmula do volume de pirâmide/tetraedro:
V=\tfrac{1}{3}\times \text{Área}(D)\times (\text{altura})=\tfrac{1}{3}\times \tfrac{1}{4}\times 1=\tfrac{1}{12}.Á
Isso coincide exatamente com o valor obtido pela integral dupla, portanto a fórmula fica confirmada.

Resposta

V=\dfrac{1}{12}
Confirmação: V=\dfrac{1}{3}\times (área da base) \times (altura) =\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{4}\times 1=\dfrac{1}{12}

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