Calcule, por meio de uma integral dupla, o volume
do tetraedro no primeiro octante delimitado pelo plano
e os planos coordenados. Confirme a fórmula
(área da base).(altura).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular, por meio de uma integral dupla, o volume
do tetraedro no primeiro octante delimitado pelo plano
e pelos planos coordenados; (2) confirmar a fórmula
(área da base)
(altura).\n
Informações dadas que vamos usar: o sólido está no primeiro octante, ou seja ,
,
, e é limitado acima pelo plano
. Não há outras informações escondidas — a fronteira no plano
será a projeção (base) do tetraedro no plano
.
Informações dadas que vamos usar: o sólido está no primeiro octante, ou seja
Passo 2
Entendimento geométrico e expressão da superfície: do plano dado isolamos
como função de
:
Esse
é a altura do sólido acima do ponto
da base projetada no plano
. A base
é a região do plano
onde
com
e
. Portanto
é dado por
ou seja a desigualdade
junto com
. Vamos identificar os vértices de
: tomando
obtemos
(vértice
); tomando
obtemos
(vértice
); e há o vértice na origem
. Assim
é o triângulo com vértices
.
Passo 3
Princípio da integral dupla para volume: o volume do sólido sob a superfície
sobre a região
é
Aqui
. Assim:
Essa é exatamente a integral dupla pedida: somamos as “alturas”
sobre cada elemento de área
da base.
Passo 4
Escolha da ordem de integração e limites: é prático integrar primeiro em
(horizontalmente) e depois em
. Para um
fixo com
, a desigualdade
dá
. Logo os limites são
de
a
e
de
a
. Escrevemos a integral iterada:
Passo 5
Cálculo da integral interna (integração em
): calculamos
Integramos termo a termo: uma primitiva é
. Avaliando entre
e
obtemos
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro expandimos
e então
além de
Substituindo e simplificando:
Agrupando termos:
Portanto a integral interna reduz-se a
Passo 6
Cálculo da integral externa (integração em
): agora integramos de
a
:
Calculamos primitiva termo a termo:
Assim
Avaliação em
:
Portanto a integral dupla dá
Passo 7
Confirmação da fórmula
(área da base)
(altura): a base do tetraedro é o triângulo
no plano
com vértices
. A área desse triângulo é
A altura do tetraedro (distância entre a base
e o vértice superior no eixo
) é o intercepto
do plano, que é
. Aplicando a fórmula do volume de pirâmide/tetraedro:
Isso coincide exatamente com o valor obtido pela integral dupla, portanto a fórmula fica confirmada.
Resposta
Confirmação: