Encontre a solucão do problema com condições iniciais e de contorno da condução de calor:
lut=4 ux x, 0<x<2, t>0 ; u(0, t)=10, u(2, t)=60, t>0 ; u(x, 0)=f(x), 0 <= x <= 2, onde f(x)=lx, 0<x<1 0,1<x<2

Passo 1

O problema é o seguinte: queremos resolver a equação de calor
ut = 4,uxx, 0<x<2,;t>0,
com condições de contorno não homogêneas
u(0,t)=10, u(2,t)=60, t>0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x), 0<= x<=2,
onde
f(x)= x,&0<x<1, 0,&1<x<2
Vamos usar o método do estado estacionário somado a uma série de Fourier para resolver.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução estacionária phi(x) (independente de t) que satisfaz
phi''(x)=0, phi(0)=10,;phi(2)=60
Integrando phi''=0 duas vezes vem
phi(x)=A x + B,
e impondo phi(0)=B=10 e phi(2)=2A+10=60 obtemos A=25. Logo
phi(x)=10+25,x

Passo 3

Definimos a diferença v(x,t)=u(x,t)-phi(x). Então
vt = ut - 0 = 4,uxx = 4,vxx,
e as condições de contorno tornam-se homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-phi(0)=10-10=0, v(2,t)=u(2,t)-phi(2)=60-60=0
A condição inicial para v é
v(x,0)=f(x)-phi(x)=g(x),
onde
g(x)= x-(10+25x)=-10-24x,&0<x<1, 0-(10+25x)=-10-25x,&1<x<2

Passo 4

Como as C.C. em x=0 e x=2 para v são nulas, expandimos v em senos:
v(x,t)=sumn=1^inftyBnsin!l(tfracnpi x2r),e^-4l(tfracnpi2r)^2t
Cada modo satisfaz vt =4vxx com sin!(npi x/2) e decai exponencialmente com taxa 4(npi/2)^2.

Passo 5

Os coeficientes Bn vêm da condição inicial v(x,0)=g(x):
Bn = integral0^2g(x),sin!l(tfracnpi x2r),dx
Como g é definido em dois pedaços, escrevemos
Bn =integral0^1(-10-24x)sin!l(tfracnpi x2r)dx +integral1^2(-10-25x)sin!l(tfracnpi x2r)dx
Essas integrais podem ser computadas por partes; uma forma compacta de expressar o resultado é, com a=npi/2:
Bn =10 -21cos(a)+60cos(2a)a +sin(a)-25sin(2a)a^2,
onde a=tfracnpi2.

Resposta

A solução completa do problema é

Exercícios relacionados