Encontre a solucão do problema com condições iniciais e de contorno da condução de calor:
onde
f(x)=lx, 0<x<1 0,1<x<2
Passo 1
O problema é o seguinte: queremos resolver a equação de calor
com condições de contorno não homogêneas
e condição inicial
onde
Vamos usar o método do estado estacionário somado a uma série de Fourier para resolver.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução estacionária
phi(x) (independente de
t ) que satisfaz
Integrando
phi''=0 duas vezes vem
e impondo
phi(0)=B=10 e
phi(2)=2A+10=60 obtemos
A=25 . Logo
Passo 3
Definimos a diferença
v(x,t)=u(x,t)-phi(x) . Então
e as condições de contorno tornam-se homogêneas:
A condição inicial para
v é
onde
Passo 4
Como as C.C. em
x=0 e
x=2 para
v são nulas, expandimos
v em senos:
Cada modo satisfaz
vt =4vxx com
sin!(npi x/2) e decai exponencialmente com taxa
4(npi/2)^2 .
Passo 5
Os coeficientes
Bn vêm da condição inicial
v(x,0)=g(x) :
Como
g é definido em dois pedaços, escrevemos
Essas integrais podem ser computadas por partes; uma forma compacta de expressar o resultado é, com
a=npi/2 :
onde
a=tfracnpi2 .
Resposta
A solução completa do problema é