Determine o determinante da matriz
A=[cccc 1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 4 & 3 3 & 0 & 0 & 2 4 & 3 & 2 & -5 ]

Passo 1

Estamos com a matriz
A = 1 & 2 & 1 & 1 [6pt] 2 & 1 & 4 & 3 [6pt] 3 & 0 & 0 & 2 [6pt] 4 & 3 & 2 & -5
e queremos calcular det(A).
Conteúdo: determinante de matriz 4times4. Vamos usar expansão por cofatores escolhendo a terceira linha, pois ela tem dois zeros.]

Passo 2

A expansão por cofatores ao longo da linha 3
det(A) = a31,C31 + a32,C32 + a33,C33 + a34,C34 = 3,C31 + 0 + 0 + 2,C34
Como C31=(-1)^3+1M31=+M31 e C34=(-1)^3+4M34=-M34, segue
det(A) = 3,M31 - 2,M34

Passo 3

O menor M31 é o determinante da submatriz obtida removendo linha 3 e coluna 1, ou seja
M31 = det 2 & 1 & 1 [4pt] 1 & 4 & 3 [4pt] 3 & 2 & -5
Expandindo pela primeira linha:
M31 = 2det4 & 32 & -5 -1det1 & 33 & -5 +1det1 & 43 & 2
Calculemos cada termo:
det4 & 32 & -5 = 4cdot(-5)-3cdot2 = -20-6=-26,
det1 & 33 & -5 = 1cdot(-5)-3cdot3=-5-9=-14,
det1 & 43 & 2 = 1cdot2 -4cdot3=2-12=-10
Logo
M31 = 2cdot(-26) -1cdot(-14) +1cdot(-10) = -52 +14 -10 = -48 ]

Passo 4

O menor M34 é o determinante da submatriz obtida removendo linha 3 e coluna 4, ou seja
M34 = det 1 & 2 & 1 [4pt] 2 & 1 & 4 [4pt] 4 & 3 & 2
Expandindo pela primeira linha:
M34 = 1det1 & 43 & 2 -2det2 & 44 & 2 +1det2 & 14 & 3
Calculemos:
det1 & 43 & 2 = 1cdot2 -4cdot3 = 2-12 = -10,
det2 & 44 & 2 = 2cdot2 -4cdot4 =4-16 = -12,
det2 & 14 & 3 = 2cdot3 -1cdot4 =6-4 = 2
Portanto
M34 = 1cdot(-10) -2cdot(-12) +1cdot2 = -10 +24 +2 = 16 ]

Passo 5

Agora voltamos a
det(A) = 3,M31 - 2,M34 = 3cdot(-48) - 2cdot(16) = -144 - 32 = -176

Resposta

det(A) = -176

Exercícios relacionados