9 - Seja A uma matriz quadrada de ordem n times n. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(c) O mesmo ocorre com as colunas? Isto é, se uma matriz A tem uma coluna que é um múltiplo de outra ou igual a soma de duas outras, então A é não inversível?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se numa matriz quadrada A de ordem n existe uma coluna que é múltiplo de outra ou igual à soma de duas outras, então A não é inversível. Vamos usar operações elementares de coluna para reduzir A a uma matriz com uma coluna nula e concluir que isso implica det(A)=0.

Passo 2

Lembre que uma operação elementar de coluna, como substituir a coluna i por coli - k,colj, pode ser vista como multiplicar A à direita por uma matriz elementar E. Essas matrizes E são invertíveis (têm determinante não nulo), de modo que
A' = A,E
é inversível se e somente se A for inversível, pois
det(A') = det(A),det(E)
e det(E)neq0.

Passo 3

Caso (c1): suponha que numa coluna i de A tenhamos
coli = k,colj
para algum escalar k e alguma outra coluna j. Se aplicarmos a operação elementar
coli long<=ftarrow coli - k,colj,
a nova coluna i fica
k,colj - k,colj = 0
Portanto a matriz resultante A' tem a coluna i inteira nula, e sabemos que toda matriz com coluna (ou linha) nula tem determinante zero, logo não é inversível.

Passo 4

Como A' = A,E e det(E)neq 0, temos
det(A') = det(A),det(E)=0 Longrightarrow det(A)=0
Isto prova que, se A tinha coli = k,colj, então A não é inversível.

Passo 5

Caso (c2): suponha agora que numa coluna i de A tenhamos
coli = colj + colk
para duas outras colunas j,k. Aplicando a operação elementar
coli long<=ftarrow coli - colj - colk,
ficamos novamente com
(colj + colk) - colj - colk = 0
na coluna i. Logo a matriz resultante tem coluna nula e não é inversível. Pelo mesmo argumento de determinantes, A também não é inversível.

Resposta

Se uma coluna de A é múltiplo de outra ou igual à soma de duas outras, operações elementares de coluna levam a uma coluna nula. Assim det(A)=0 e A é não inversível.

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