9 - Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(c) O mesmo ocorre com as colunas? Isto é, se uma matriz
tem uma coluna que é um múltiplo de outra ou igual a soma de duas outras, então
é não inversível?
(c) O mesmo ocorre com as colunas? Isto é, se uma matriz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se numa matriz quadrada
de ordem
existe uma coluna que é múltiplo de outra ou igual à soma de duas outras, então
não é inversível. Vamos usar operações elementares de coluna para reduzir
a uma matriz com uma coluna nula e concluir que isso implica
.
Passo 2
Lembre que uma operação elementar de coluna, como substituir a coluna
por
, pode ser vista como multiplicar
à direita por uma matriz elementar
. Essas matrizes
são invertíveis (têm determinante não nulo), de modo que
é inversível se e somente se
for inversível, pois
e
.
Passo 3
Caso (c1): suponha que numa coluna
de
tenhamos
para algum escalar
e alguma outra coluna
. Se aplicarmos a operação elementar
a nova coluna
fica
Portanto a matriz resultante
tem a coluna
inteira nula, e sabemos que toda matriz com coluna (ou linha) nula tem determinante zero, logo não é inversível.
Passo 4
Como
e
, temos
Isto prova que, se
tinha
, então
não é inversível.
Passo 5
Caso (c2): suponha agora que numa coluna
de
tenhamos
para duas outras colunas
. Aplicando a operação elementar
ficamos novamente com
na coluna
. Logo a matriz resultante tem coluna nula e não é inversível. Pelo mesmo argumento de determinantes,
também não é inversível.
Resposta
Se uma coluna de
é múltiplo de outra ou igual à soma de duas outras, operações elementares de coluna levam a uma coluna nula. Assim
e
é não inversível.