Dados os vetores u e v, qual deve ser o ângulo entre os vetores para que o comprimento do vetor soma u+v seja máximo? E para ser mínimo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o valor do ângulo theta entre os vetores u e v que torna o comprimento de u+v máximo e mínimo. Vamos usar a relação entre produto escalar e módulo de soma de vetores.

Passo 2

Pela definição de produto escalar,
ucdotv=|u|;|v|costheta
e portanto
|u+v|^2 =|u|^2+2,ucdotv+|v|^2 =|u|^2+|v|^2+2,|u|;|v|costheta

Passo 3

Como |u+v| é a raiz quadrada de um termo que cresce com costheta, o comprimento será
– máximo quando costheta atinge seu valor máximo 1, ou seja theta=0,
– mínimo quando costheta atinge seu valor mínimo -1, ou seja theta=pi.

Resposta

Ângulo para máximo: theta=0.
Ângulo para mínimo: theta=pi.

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