Determine, se possível, a solução do sistema linear dado por meio do método da eliminação de Gauss:
r 2 x+3 y-z=0 x-4 y+z=0 3 x+y-2 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
2x + 3y - z = 0, x - 4y + z = 0, 3x + y - 2z = 0,
e pede para resolver via método da eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada e, em seguida, usar substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e, para facilitar, trocamos a primeira e a segunda linha de modo a ter um pivô igual a 1 na primeira equação:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 1 & -4 & 1 & 0 3 & 1 & -2 & 0 ] ;xrightarrow,R1rightarrow R2,; [ccc|c 1 & -4 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 0 3 & 1 & -2 & 0 ]

Passo 3

Usamos o pivô 1 na primeira linha para eliminar x das linhas 2 e 3:
R2 R2 - 2,R1 e R3 R3 - 3,R1.
[ccc|c 1 & -4 & 1 & 0 0 & 11 & -3 & 0 0 & 13 & -5 & 0 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô 11 na segunda linha para zerar o coeficiente de y na terceira linha:
R3 R3 - 1311,R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & -4 & 1 & 0 0 & 11 & -3 & 0 0 & 0 & -tfrac1611 & 0 ]
Obtivemos a forma triangular superior completa.

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
bul<=t Da terceira linha vem
-tfrac1611,z = 0 Longrightarrow z = 0
bul<=t Da segunda linha, com z=0,
11,y - 3cdot 0 = 0 Longrightarrow y = 0
bul<=t Da primeira linha, com y=0 e z=0,
x - 4cdot 0 + 0 = 0 Longrightarrow x = 0

Resposta

(x,y,z) = (0,0,0).

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