Determine, com as devidas justificativas:
A dimensāo do subespaço U=\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right] \mathrm{de} M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço U gerado por três matrizes de M_{2\times2}(\mathbb{R}). As informações dadas são as três matrizes:
A_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é \dim(U) onde
U=\big[\,A_1,A_2,A_3\,\big]=\operatorname{span}\{A_1,A_2,A_3\}.]

Passo 2

Ideia prática que usamos: identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 (por exemplo, seguindo a ordem linha a linha). Isso transforma o problema em estudar dependência linear de três vetores em \mathbb{R}^4. Faço a correspondência
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\longmapsto (a,b,c,d).
Aplicando isso às matrizes dadas obtemos os vetores
v_1=(1,0,2,1),\qquad v_2=(1,0,1,0),\qquad v_3=(0,0,1,1).]

Passo 3

Para descobrir a dimensão do espaço gerado por v_1,v_2,v_3\) testamos se são linearmente independentes. Escrevemos a equação da combinação linear que dá o vetor zero e resolvemos para os coeficientes: \[\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada isso vira o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 0\alpha+0\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha+\beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+0\beta+\gamma=0. \end{cases}
Observação: a segunda equação é 0=0\] (não dá informação nova) porque todas as matrizes têm entrada central superior igual a \(0.]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação segue
\beta=-\alpha.
Substituindo isso na terceira equação:
2\alpha+(-\alpha)+\gamma=0\quad\Longrightarrow\quad \alpha+\gamma=0\quad\Longrightarrow\quad \gamma=-\alpha.
A quarta equação é
\alpha+\gamma=0,
que é a mesma condição que já obtivemos e portanto é consistente. Conclusão: as soluções são todas da forma
(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha,-\alpha,-\alpha),
com \alpha\in\mathbb{R} livre. Logo existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores, então eles são linearmente dependentes.

Passo 5

Interpretação: o espaço das soluções tem dimensão 1 (grau de liberdade \alpha), ou seja o núcleo da aplicação que leva (\alpha,\beta,\gamma) à combinação linear tem dimensão 1. Pelo princípio básico da teoria das dimensões para vetores (ou pelo teorema da dimensão para matrizes cujas colunas são os vetores), o posto (rank) das três colunas é
\operatorname{rank}=\text{número de vetores}-\text{dimensão do espaço de soluções}=3-1=2.úãççõ
Portanto a dimensão do subespaço gerado por v_1,v_2,v_3 é 2.

Passo 6

Uma verificação rápida e intuitiva: da solução encontrada vemos explicitamente que
v_1=v_2+v_3,
porque colocando \alpha=1 temos (1,-1,-1) como relação, isto é v_1-v_2-v_3=0. Em termos das matrizes originais isso significa
A_1=A_2+A_3.
Assim A_1 está no span de A_2 e A_3, e A_2,A_3 são linearmente independentes (verificação rápida: uma combinação \mu A_2+\nu A_3=0 força \mu=0 e \nu=0). Logo \{A_2,A_3\} é uma base de U e \dim(U)=2.

Resposta

\dim(U)=2

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