Ideia prática que usamos: identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 (por exemplo, seguindo a ordem linha a linha). Isso transforma o problema em estudar dependência linear de três vetores em \mathbb{R}^4. Faço a correspondência
Para descobrir a dimensão do espaço gerado por v_1,v_2,v_3\) testamos se são linearmente independentes. Escrevemos a equação da combinação linear que dá o vetor zero e resolvemos para os coeficientes:
\[\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada isso vira o sistema
que é a mesma condição que já obtivemos e portanto é consistente. Conclusão: as soluções são todas da forma
(\alpha,\beta,\gamma)=(\alpha,-\alpha,-\alpha),
com \alpha\in\mathbb{R} livre. Logo existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores, então eles são linearmente dependentes.
Passo 5
Interpretação: o espaço das soluções tem dimensão 1 (grau de liberdade \alpha), ou seja o núcleo da aplicação que leva (\alpha,\beta,\gamma) à combinação linear tem dimensão 1. Pelo princípio básico da teoria das dimensões para vetores (ou pelo teorema da dimensão para matrizes cujas colunas são os vetores), o posto (rank) das três colunas é
\operatorname{rank}=\text{número de vetores}-\text{dimensão do espaço de soluções}=3-1=2.úãççõ
Portanto a dimensão do subespaço gerado por v_1,v_2,v_3 é 2.
Passo 6
Uma verificação rápida e intuitiva: da solução encontrada vemos explicitamente que
v_1=v_2+v_3,
porque colocando \alpha=1 temos (1,-1,-1) como relação, isto é v_1-v_2-v_3=0. Em termos das matrizes originais isso significa
A_1=A_2+A_3.
Assim A_1 está no span de A_2 e A_3, e A_2,A_3 são linearmente independentes (verificação rápida: uma combinação \mu A_2+\nu A_3=0 força \mu=0 e \nu=0). Logo \{A_2,A_3\} é uma base de U e \dim(U)=2.