Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
(2,-2,3,0) \in[(0,0,1,-1),(1,-1,0,1)].

Passo 1

O enunciado pergunta se o vetor (2,-2,3,0) pertence ao segmento fechado que tem extremidades os vetores (0,0,1,-1) e (1,-1,0,1).
Vou listar os dados fornecidos:
  • Ponto (extremidade) A = (0,0,1,-1).
  • Ponto (extremidade) B = (1,-1,0,1).
  • Ponto a testar P = (2,-2,3,0).
    A pergunta é: P \in [A,B]? Responderemos V (verdadeiro) ou F (falso) com justificação.

Passo 2

Definição prática e procedimento que vamos usar (explicado passo a passo): o segmento entre A e B é o conjunto de todas as combinações convexas de A e B. Isso significa que um ponto X está em [A,B] se, e somente se, existe um parâmetro t com 0 \le t \le 1 tal que
X = (1-t)A + tB.
Aqui t controla a posição: t=0 A, t=1 B, valores intermediários ficam no segmento. Vou aplicar essa definição para verificar se existe t\in[0,1] com P=(1-t)A+tB.

Passo 3

Escrevendo a combinação coordenada a coordenada. Com A=(0,0,1,-1) e B=(1,-1,0,1) temos, para um t arbitrário,
(1-t)A + tB = \bigl((1-t)\cdot 0 + t\cdot 1,\; (1-t)\cdot 0 + t\cdot(-1),\; (1-t)\cdot 1 + t\cdot 0,\; (1-t)\cdot(-1) + t\cdot 1\bigr).
Simplificando cada coordenada:
(1-t)A + tB = \bigl(t,\; -t,\; 1-t,\; -1 + 2t\bigr).

Passo 4

Igualamos essa expressão ao ponto P=(2,-2,3,0)\) e obtemos um sistema de equações para \(t\): \[\begin{cases} t = 2,\\[4pt] -t = -2,\\[4pt] 1-t = 3,\\[4pt] -1 + 2t = 0. \end{cases}
Vou resolver cada equação isoladamente para ver se há um único (t] compatível com todas:
  • Da primeira equação t=2.
  • Da segunda equação -t=-2 também segue t=2. (essas duas são consistentes entre si)
  • Da terceira equação 1-t=3 segue t=1-3=-2, ou seja t=-2.
  • Da quarta equação -1+2t=0 segue 2t=1 e então t=\tfrac{1}{2}.
Portanto as quatro equações dão quatro valores diferentes para t: 2, 2, -2 e \tfrac{1}{2}. Não existe um único t que satisfaça todas as coordenadas simultaneamente.]

Passo 5

Interpretação e conclusão lógica: para que P pertença ao segmento [A,B] seria necessário existir um único t\in[0,1] que satisfaça todas as coordenadas ao mesmo tempo. Como não existe tal t (as equações são inconsistentes entre si, e ainda os valores obtidos nem estão em [0,1]), concluímos que P não está no segmento.

Resposta

F

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