Determine, com as devidas justificativas:
O valor de k \in \mathbb{R} para o qual o subconjunto \{(1,2,0),(0,-3,4),(k, 3,4)\} do \mathbb{R}^{3} seja linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de k\in\mathbb{R} para os quais o subconjunto \{(1,2,0),(0,-3,4),(k,3,4)\}\subset\mathbb{R}^3 é linearmente dependente.
Informações dadas:
  • Primeiro vetor: \mathbf{v}_1=(1,2,0).
  • Segundo vetor: \mathbf{v}_2=(0,-3,4).
  • Terceiro vetor (contendo k): \mathbf{v}_3=(k,3,4).
O que se quer: o(s) valor(es) de k tais que exista uma combinação linear não trivial de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 que resulte no vetor nulo.

Passo 2

Definição e estratégia (explicada de forma didática e passo a passo).
Definição: três vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Uma forma intuitiva (e prática aqui) de verificar dependência é ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Se existir \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3,
então \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente dependentes (porque então \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2-1\cdot\mathbf{v}_3=\mathbf{0}, uma combinação não trivial).
Escolhi esse método porque é direto e usa apenas álgebra linear elementar (resolver um pequeno sistema linear) — é exatamente o tipo de raciocínio que dá rapidez numa prova sem calculadora.

Passo 3

Montar o sistema componente a componente para [\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3).
Escrevendo a igualdade vetorial:
\alpha(1,2,0)+\beta(0,-3,4)=(k,3,4).
Isto gera, componente a componente, o sistema
\begin{cases} \alpha = k,\\[4pt] 2\alpha -3\beta = 3,\\[4pt] 0\cdot\alpha +4\beta = 4. \end{cases}
Explicação rápida de cada linha:
  • Primeira linha: igualdade das primeiras componentes: \alpha\cdot 1+\beta\cdot 0=k\] dá \(\alpha=k.
  • Segunda linha: igualdade das segundas componentes: \alpha\cdot 2+\beta\cdot(-3)=3.
  • Terceira linha: igualdade das terceiras componentes: \alpha\cdot 0+\beta\cdot 4=4.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da terceira equação obtém-se diretamente
4\beta=4\quad\Rightarrow\quad \beta=1.
Substituindo \beta=1 na segunda equação:
2\alpha -3\cdot 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha -3=3 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=6 \quad\Rightarrow\quad \alpha=3.
Da primeira equação sabíamos que \alpha=k. Igualando com \alpha=3 vem
k=\alpha=3.
Portanto, para k=3 existe \alpha=3,\beta=1 tais que \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3. Para k\neq 3 não se consegue resolver todas as três equações simultaneamente (a terceira força \beta=1 e a segunda então força \alpha=3, que pela primeira implica k=3); logo não há combinação que gere \mathbf{v}_3 a partir de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2.

Passo 5

Verificação explícita e conclusão de dependência.
Para k=3 temos a relação
3\mathbf{v}_1+1\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3=\mathbf{0},
isto é, \;3(1,2,0)+1(0,-3,4)-1(3,3,4)=(0,0,0). Os coeficientes (3,1,-1) não são todos zero, logo é uma combinação não trivial que dá o vetor nulo, comprovando que os vetores são linearmente dependentes quando k=3.
Para qualquer k\neq 3 não existe combinação do tipo \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3, portanto os três vetores seriam linearmente independentes.

Resposta

k=3

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