Determine, com as devidas justificativas:
O valor de k \in \mathbb{R} para o qual o subconjunto \{(1,2,0),(0,-3,4),(k, 3,4)\} do \mathbb{R}^{3} seja linearmente dependente.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de k\in\mathbb{R} para os quais o subconjunto \{(1,2,0),(0,-3,4),(k,3,4)\}\subset\mathbb{R}^3 é linearmente dependente.
O que se quer: o(s) valor(es) de k tais que exista uma combinação linear não trivial de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 que resulte no vetor nulo.
Passo 2
Definição e estratégia (explicada de forma didática e passo a passo).
Definição: três vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que
Uma forma intuitiva (e prática aqui) de verificar dependência é ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Se existir \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
então \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente dependentes (porque então \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2-1\cdot\mathbf{v}_3=\mathbf{0}, uma combinação não trivial).
Escolhi esse método porque é direto e usa apenas álgebra linear elementar (resolver um pequeno sistema linear) — é exatamente o tipo de raciocínio que dá rapidez numa prova sem calculadora.
Passo 3
Montar o sistema componente a componente para [\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3).
Da primeira equação sabíamos que \alpha=k. Igualando com \alpha=3 vem
k=\alpha=3.
Portanto, para k=3 existe \alpha=3,\beta=1 tais que \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3. Para k\neq 3 não se consegue resolver todas as três equações simultaneamente (a terceira força \beta=1 e a segunda então força \alpha=3, que pela primeira implica k=3); logo não há combinação que gere \mathbf{v}_3 a partir de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2.
isto é, \;3(1,2,0)+1(0,-3,4)-1(3,3,4)=(0,0,0). Os coeficientes (3,1,-1) não são todos zero, logo é uma combinação não trivial que dá o vetor nulo, comprovando que os vetores são linearmente dependentes quando k=3.
Para qualquer k\neq 3 não existe combinação do tipo \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_3, portanto os três vetores seriam linearmente independentes.