Determine (com as devidas justificativas):
(1,0 ponto) [I]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(0,3),(1,-4)\} e \beta=\{(1,1),(2,1)\} (bases do \mathbb{R}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação identidade \;I\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\
com base de partida \beta = \{\,v_1=(1,1),\,v_2=(2,1)\}
e base de chegada \alpha=\{\,a_1=(0,3),\,a_2=(1,-4)\}.
Para encontrar [I]_{\beta}^{\alpha}, devemos expressar cada v_j em coordenadas de \alpha e usar essas coordenadas como colunas da matriz.

Passo 2

Expressão de v_1=(1,1)\) na base \(\alpha\). Procuramos escalares \(x,y\) tais que \[(1,1)=x\,(0,3)+y\,(1,-4).
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} y = 1,\\\\ 3x - 4y = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem y=1\]. Substituindo na segunda: \[3x - 4\cdot1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{5}{3}.\] Logo, \(\coord_{\alpha}(v_1) = \bigl(\tfrac{5}{3},\,1\bigr).

Passo 3

Expressão de v_2=(2,1)\) na base \(\alpha\). Procuramos \(u,w\) tais que \[(2,1)=u\,(0,3)+w\,(1,-4),
isto é,
\begin{cases} w = 2,\\\\ 3u - 4w = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem w=2\]. Substituindo na segunda: \[3u - 4\cdot2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3u = 9 \quad\Longrightarrow\quad u = 3.\] Logo, \(\coord_{\alpha}(v_2) = (3,\,2).

Passo 4

Montagem da matriz [I]_{\beta}^{\alpha}.
As colunas são \coord_{\alpha}(v_1) e \coord_{\alpha}(v_2):
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} \tfrac{5}{3} & 3\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} \tfrac{5}{3} & 3\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

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