(2,0 pontos) Em cada item, responda \underline{V} (verdadeiro) ou \underline{F} (falso), justificando a sua resposta:
-a) ( \boldsymbol{F} ) O vetor \underset{\sim}{\boldsymbol{w}}=(0,4,5) é combinação linear dos vetores u=(0,-2,2) e v=(1,3,-1)
b) (\boldsymbol{V}) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=x-y\right\} é um subespaç do espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado tem dois itens sobre espaços vetoriais em \mathbb{R}^3:
– (a) verificar se \mathbf{w}=(0,4,5) é combinação linear de \mathbf{u}=(0,-2,2) e \mathbf{v}=(1,3,-1);
– (b) analisar se o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=x-y\}
é subespaço de \mathbb{R}^3.
Para (a) vamos montar um sistema para \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}=\mathbf{w}. Para (b) vamos checar as três propriedades de subespaço (não vazio, fechado em soma e fechado em produto escalar).
Passo 2
Suponha que exista \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha\,(0,-2,2)+\beta\,(1,3,-1)=(0,4,5).
Da primeira equação vem \beta=0\]. Substituindo em
\[4 = -2\alpha\quad\Longrightarrow\quad \alpha=-2.\]
Agora testa na terceira equação:
\[5 \stackrel{?}{=} 2(-2)-1\cdot0 = -4,\]
o que é impossível. Logo não há \(\alpha,\beta que resolvam todas as equações e \mathbf{w} não é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}. Portanto o item (a) é falso.
Passo 3
Verificar que
W=\{(x,y,z)\mid z=x-y\}
é subespaço de \mathbb{R}^3.
Não vazio: (0,0,0)\in W pois 0=0-0.
Fechado em soma: se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em W, então
z_1 = x_1 - y_1,\quad z_2 = x_2 - y_2
e
(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)
satisfaz
z_1+z_2=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)=(x_1+x_2)-(y_1+y_2),
logo a soma está em W.
3. Fechado em escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in W,
z=x-y
implica
\lambda z = \lambda x - \lambda y,
então \lambda(x,y,z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z) também satisfaz a condição e pertence a W.
Como as três propriedades valem, W é subespaço de \mathbb{R}^3. Portanto o item (b) é verdadeiro.