Determine a equação do plano tangente à superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+4 z=0 no ponto T=(3,-1,-4).
Escolha uma opção:
a. \pi: 2 x-y-2 z-9=0
b. \pi: 2 x-2 y+z-13=0
c. \pi: x-2 y-2 z-18=0
d. \pi: 2 x+y-2 z-13=0
e. \pi: 2 x+2 y-z-13=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada pela esfera de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+4z=0
no ponto T=(3,-1,-4). Para isso, vamos usar o método de plano tangente a uma superfície definida implicitamente por F(x,y,z)=0, em que
\text{grad}\,F(P)\cdot (X-P)=0
é a equação do plano tangente em P.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+4z.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x-2,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=2y+4,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=2z+4.

Passo 3

Avaliando em T=(3,-1,-4), temos
\text{grad}\,F(3,-1,-4) =(2\cdot3-2,\;2\cdot(-1)+4,\;2\cdot(-4)+4) =(4,\;2,\;-4).

Passo 4

A equação do plano tangente é
4(x-3)+2(y+1)-4(z+4)=0.
Expandindo:
4x-12+2y+2-4z-16=0 \;\Longrightarrow\; 4x+2y-4z-26=0.
Dividindo tudo por 2,
2x+y-2z-13=0.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, vemos que corresponde à letra d.

Resposta

d. \pi: 2x + y - 2z - 13 = 0

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